最后更新: 2025-05-29 20:07 查看: 50 次反馈同步训练

高考研究：三角函数的最值与范围问题

`例` 记函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)+b(\omega>0)$的最小正周期为 $T$ ．若 $\frac{2 \pi}{3}<T<\pi$ ，且 $y=f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{3 \pi}{2}, 2\right)$ 中心对称，则 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 等于

解：因为 $\frac{2 \pi}{3}<T<\pi$ ，所以 $\frac{2 \pi}{3}<\frac{2 \pi}{\omega}<\pi$ ，解得 $2<\omega<3$ ．因为 $y=f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{3 \pi}{2}, 2\right)$ 中心对称，所以 $b=2$ ，且 $\sin \left(\frac{3 \pi}{2} \omega+\frac{\pi}{4}\right)+b=2$ ，即 $\sin \left(\frac{3 \pi}{2} \omega+\frac{\pi}{4}\right)=0$ ，所以 $\frac{3 \pi}{2} \omega+\frac{\pi}{4}=k \pi(k \in Z )$ ，又 $2<\omega<3$ ，所以 $\frac{13 \pi}{4}<\frac{3 \pi}{2} \omega+\frac{\pi}{4}<\frac{19 \pi}{4}$ ，
所以 $\frac{3 \pi}{2} \omega+\frac{\pi}{4}=4 \pi$ ，解得 $\omega=\frac{5}{2}$ ，
所以 $f(x)=\sin \left(\frac{5}{2} x+\frac{\pi}{4}\right)+2$ ，所以 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin \left(\frac{5}{2} \times \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+2=\sin \frac{3 \pi}{2}+2=1$ ．

`例` 已知函数 $f(x)=2 \sqrt{3} \sin \frac{\omega x}{2} \cos \frac{\omega x}{2}+2 \sin ^2 \frac{\omega x}{2}-1(\omega>0)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度后得到函数 $g(x)$ 的图象关于坐标原点对称，则 $\omega$ 的最小值为
解：
$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
& \because f(x)=2 \sqrt{3} \sin \frac{\omega x}{2} \cos \frac{\omega x}{2}+2 \sin ^2 \frac{\omega x}{2}-1 \\
& =\sqrt{3} \sin \omega x-\cos \omega x=2 \sin \left(\omega x-\frac{\pi}{6}\right) \\
& \therefore g(x)=2 \sin \left[\omega\left(x+\frac{\pi}{12}\right)-\frac{\pi}{6}\right]=2 \sin \left(\omega x+\frac{\omega \pi}{12}-\frac{\pi}{6}\right)
\end{aligned}\\
&\text { 又 } g(x) \text { 的图象关于坐标原点对称，}\\
&\begin{aligned}
& \therefore \frac{\omega \pi}{12}-\frac

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