最后更新: 2025-05-31 18:38 查看: 30 次反馈同步训练

高考研究：函数的综合利用

## 函数性质
`例`（多选）已知 $y=f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，满足 $f(x+1)=f(x-2)$ ，下列说法正确的是
A．$y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{3}{2}$ 对称
B．$y=f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$ 对称
C．$y=f(x)$ 在 $[0,6]$ 内至少有 5 个零点
D．若 $y=f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，则它在 $[2021,2022]$ 上也单调递增

解：因为 $f(x+1)=f(x-2)$ 且 $y=f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，则 $f(x+3)=f(x)$ ，故函数 $f(x)$ 是周期为 3 的周期函数，且 $f(x+3)=f(x)=-f(-x)$ ，所以 $f(3+x)+f(-x)=0$ ，故函数 $y=f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$ 对称，A错误，B 正确；

由题意可知，$f(6)=f(3)=f(0)=0$ ，
因为 $f(x)=f(x+3)=-f(-x)$ ，令 $x=-\frac{3}{2}$ ，可得 $f\left(-\frac{3}{2}\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)$ ，即 $f\left(\frac{3}{2}\right)$ $=-f\left(\frac{3}{2}\right)$

所以 $f\left(\frac{3}{2}\right)=0$ ，从而 $f\left(\frac{9}{2}\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)=0$ ，
故函数 $y=f(x)$ 在 $[0,6]$ 内至少有 5 个零点， C 正确；
因为 $f(2021)=f(3 \times 674-1)=f(-1), f(2022)=f(3 \times 674)=f(0)$ ，且函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，
则函数 $f(x)$ 在 $[-1,0]$ 上也单调递增，故函数 $f(x)$ 在 $[2021,2022]$ 上也单调递增，D正确．

`例`（多选）已知 $f(x)$ 是定义域为 $R$ 的函数，满足 $f(x+1)=f(x-3)$ ， $f(1+x)=f(3-x)$ ，当 $0 \leqslant x \leqslant 2$ 时，$f(x)=x^2-x$ ，则下列说法正确的是
A．$f(x)$ 的周期为 4
B．$f(x)$ 的图象关于直线 $x=2$ 对称
C．当 $0 \leqslant x \leqslant 4$ 时，函数 $f(x)$ 的最大值为 2
D．当 $6 \leqslant x \leqslant 8$ 时，函数 $f(x)$ 的最小值为 $-\frac{1}{2}$

解：对于 $A, \because f(x+1)=f(x-3), ~ \therefore f(x+3+1)=f(x+3-3)$ ，则 $f(x)=f(x+4)$ ，即 $f(x)$ 的周期为 4 ，故A正确；
对于 B ，由 $f(1+x)=f(3-x)$ 知 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=2$ 对称，故 B 正确；
对于 C ，当 $0 \leqslant x \leqslant 2$ 时，$f(x)=x^2-x$ 在 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 上单调递增，
根据对称性可知，函数 $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{1}{2}\right),\left(2, \frac{7}{2}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\frac{1}{2}, 2\right),\left(\frac{7}{2}, 4\right)$上单调递增，则函数 $f(x)$ 在 $[0,4]$ 上的最大值为 $f(2)=4-2=2$ ，故 C 正确；
对于 D ，根据周期性以及单调性可知，函数 $f(x)$ 在 $\left(6, \frac{15}{2}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\frac{15}{2}, 8\right)$ 上单调递增，则函数 $f(x)$ 在 $[6,8]$ 上的最小值为 $f\left(\frac{15}{2}\right)=f\le

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：高考研究：函数对称性、奇偶性与周期性

下一篇：没有了

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)