最后更新: 2025-05-31 18:38 查看: 95 次纠错评论(0) 课件开VIP

高考研究：函数的综合利用

## 函数性质
`例`（多选）已知 $y=f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，满足 $f(x+1)=f(x-2)$ ，下列说法正确的是
A．$y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{3}{2}$ 对称
B．$y=f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$ 对称
C．$y=f(x)$ 在 $[0,6]$ 内至少有 5 个零点
D．若 $y=f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，则它在 $[2021,2022]$ 上也单调递增

解：因为 $f(x+1)=f(x-2)$ 且 $y=f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，则 $f(x+3)=f(x)$ ，故函数 $f(x)$ 是周期为 3 的周期函数，且 $f(x+3)=f(x)=-f(-x)$ ，所以 $f(3+x)+f(-x)=0$ ，故函数 $y=f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$ 对称，A错误，B 正确；

由题意可知，$f(6)=f(3)=f(0)=0$ ，
因为 $f(x)=f(x+3)=-f(-x)$ ，令 $x=-\frac{3}{2}$ ，可得 $f\left(-\frac{3}{2}\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)$ ，即 $f\left(\frac{3}{2}\right)$ $=-f\left(\frac{3}{2}\right)$

所以 $f\left(\frac{3}{2}\right)=0$ ，从而 $f\left(\frac{9}{2}\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)=0$ ，
故函数 $y=f(x)$ 在 $[0,6]$ 内至少有 5 个零点， C 正确；
因为 $f(2021)=f(3 \times 674-1)=f(-1), f(2022)=f(3 \times 674)=f(0)$ ，且函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，
则函数 $f(x)$ 在 $[-1,0]$ 上也单调递增，故函数 $f(x)$ 在 $[2021,2022]$ 上也单调递增，D正确．

`例`（多选）已知 $f(x)$ 是定义域为 $R$ 的函数，满足 $f(x+1)=f(x-3)$ ， $f(1+x)=f(3-x)$ ，当 $0 \leqslant x \leqslant 2$ 时，$f(x)=x^2-x$ ，则下列说法正确的是
A．$f(x)$ 的周期为 4
B．$f(x)$ 的图象关于直线 $x=2$ 对称
C．当 $0 \leqslant x \leqslant 4$ 时，函数 $f(x)$ 的最大值为 2
D．当 $6 \leqslant x \leqslant 8$ 时，函数 $f(x)$ 的最小值为 $-\frac{1}{2}$

解：对于 $A, \because f(x+1)=f(x-3), ~ \therefore f(x+3+1)=f(x+3-3)$ ，则 $f(x)=f(x+4)$ ，即 $f(x)$ 的周期为 4 ，故A正确；
对于 B ，由 $f(1+x)=f(3-x)$ 知 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=2$ 对称，故 B 正确；
对于 C ，当 $0 \leqslant x \leqslant 2$ 时，$f(x)=x^2-x$ 在 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 上单调递增，
根据对称性可知，函数 $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{1}{2}\right),\left(2, \frac{7}{2}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\frac{1}{2}, 2\right),\left(\frac{7}{2}, 4\right)$上单调递增，则函数 $f(x)$ 在 $[0,4]$ 上的最大值为 $f(2)=4-2=2$ ，故 C 正确；
对于 D ，根据周期性以及单调性可知，函数 $f(x)$ 在 $\left(6, \frac{15}{2}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\frac{15}{2}, 8\right)$ 上单调递增，则函数 $f(x)$ 在 $[6,8]$ 上的最小值为 $f\left(\frac{15}{2}\right)=f\left(4+\frac{7}{2}\right)$ $=f\left(\frac{7}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$ ，故 D 错误。

## 常见函数模型
 ![图片](/uploads/2025-05/0bc102.jpg)

`例`(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是

![图片](/uploads/2025-05/21d17e.jpg){width=300px}

A.首次服用该药物1单位约10分钟后，药物 发挥治疗作用
B.每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于 2小时，一定会产生药物中毒
C.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D.首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒

解：从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；
根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；
 服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；
第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误.

## 函数零点与方程的解

1.函数零点存在定理
如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 $f(a) f(b)<0$ ，那么，函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内至少有一个零点，即存在 $c \in(a, ~ b)$ ，使得 $f(c)=0$ ，这个 $c$ 也就是方程 $f(x)=0$ 的解．

2．二分法
对于在区间 $[a, ~ b]$ 上图象连续不断且 $f(a) f(b)<0$ 的函数 $y=f(x)$ ，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

`例` 函数 $y=\frac{3}{x}-\ln x$ 的零点所在区间是
A．$(3,4)$
B．$(2,3)$
C．$(1,2)$
D．$(0,1)$

解：因为函数的定义域为 $(0,+\infty)$ ，且函数 $y=\frac{3}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减； $y=-\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，
所以函数 $y=\frac{3}{x}-\ln x$ 为定义在 $(0,+\infty)$ 上的连续减函数，
又当 $x=2$ 时，$y=\frac{3}{2}-\ln 2>0$ ；
当 $x=3$ 时，$y=1-\ln 3<0$ ，两函数值异号，
所以函数 $y=\frac{3}{x}-\ln x$ 的零点所在区间是 $(2,3)$ ．

`例`函数 $f(x)= e ^x+3 x$ 的零点个数是
A． 0
B. 1
C． 2
D． 3

由 $f^{\prime}(x)= e ^x+3>0$ ，所以 $f(x)$ 在 $R$ 上单调递增，又 $f(-1)=\frac{1}{ e }-3<0$ ， $f(0)=1>0$ ，因此函数 $f(x)$ 有且只有一个零点．

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