最后更新: 2025-05-31 18:30 查看: 142 次纠错评论(0) 课件开VIP

高考研究：函数对称性、奇偶性与周期性

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 `例` 函数 $f(x)=\frac{x+1}{x}$ 图象的对称中心为
A．$(0,0)$
B．$(0,1)$
C．$(1,0)$
D．$(1,1)$
解析：因为 $f(x)=\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$ ，由 $y=\frac{1}{x}$ 向上平移一个单位长度得到 $y=1+\frac{1}{x}$ ，又 $y=\frac{1}{x}$ 关于 $(0,0)$ 对称，
所以 $f(x)=1+\frac{1}{x}$ 的图象关于 $(0,1)$ 对称．

`例` 已知定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 在 $[-2, ~+\infty)$ 上单调递减，且 $f(-2-x)=$ $f(-2+x)$ ，则 $f(-4)$ 与 $f(1)$ 的大小关系为 $\qquad$。

解：$\because f(-2-x)=f(-2+x)$ ，
$\therefore f(x)$ 关于直线 $x=-2$ 对称，
又 $f(x)$ 在 $[-2, ~+\infty)$ 上单调递减，
$\therefore f(-4)=f(0)>f(1)$ ，
故 $f(-4)>f(1)$ ．

`例` 偶函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=2$ 对称，且当 $x \in[2,3]$ 时，$f(x)=2 x-1$ ，则 $f(-1)=5$ ．

解：$\because f(x)$ 为偶函数，
$\therefore f(-1)=f(1)$ ，
由 $f(x)$ 的图象关于 $x=2$ 对称，
可得 $f(1)=f(3)=2 \times 3-1=5$ ．

`例` 已知定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 是奇函数，对 $x \in R$ 都有 $f(x+1)=f(1-x)$ ，当 $f(-3)=-2$ 时，则 $f(2023)$ 等于

解：定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 是奇函数，且对 $x \in R$ 都有 $f(x+1)=f(1-x)$ ，故函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，

$$
\therefore f(x)=f(2-x),
$$

故 $f(-x)=f(2+x)=-f(x)$ ，

$$
\therefore f(x)=-f(2+x)=f(4+x),
$$

$\therefore f(x)$ 是周期为 4 的周期函数．
则 $f(2023)=f(505 \times 4+3)=f(3)=-f(-3)=2$ ．

## 结论
函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=a$ 对称 $\Leftrightarrow f(x)=f(2 a-x) \Leftrightarrow f(a-x)$ $=f(a+x) ;$
若函数 $y=f(x)$ 满足 $f(a+x)=f(b-x)$ ，则 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x$ $=\frac{a+b}{2}$ 成轴对称．

`例` 已知函数 $f(x)=-x^2+b x+c$ ，且 $f(x+1)$ 是偶函数，则 $f(-1)$ ， $f(1), ~ f(2)$ 的大小关系是

A．$f(-1)<f(1)<f(2)$
B．$f(1)<f(2)<f(-1)$
C．$f(2)<f(-1)<f(1)$
D．$f(-1)<f(2)<f(1)$

解：因为 $f(x+1)$ 是偶函数，所以其对称轴为 $x=0$ ，所以 $f(x)$ 的对称轴为 $x=1$ ，
又二次函数 $f(x)=-x^2+b x+c$ 的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得 $f(-1)<f(2)<f(1)$ ．

## 平移变换
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 `例` $ f(x)=y=\frac{\left(2^{2 x}+1\right) \ln |x|}{2^x} $ 图像为
 
  ![图片](/uploads/2025-05/91b380.jpg)
  
  解：由解析式知，定义域为 $\{x \mid x \neq 0\}$ ，

$$
f(-x)=\frac{2^{-2 x}+1}{2^{-x}} \cdot \ln |-x|=\frac{1+2^{2 x}}{2^x} \cdot \ln |x|=f(x)
$$

故 $y=\frac{\left(2^{2 x}+1\right) \ln |x|}{2^x}$ 为偶函数，排除 D；又 $f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{3 \ln 2}{\sqrt{2}}<0$ ，排除 A，C．

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