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初中数学
第六章 三角形
多边形内角和公式
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更新:
2025-06-25 14:14
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多边形内角和公式
## 多边形内角和公式 从 $n$ 边形的一个顶点引对角线, 可把这个 $n$ 边形分成 $n-2$ 个三角形,如图 3.39 中的五边形 $A B C D E$, 从 $A$ 点引对角线 $\overline{A C} 、 \overline{A D}$, 则分成了三个三角形。由此推论不难得出多边形内角和定理:  > **多边形内角和定理** 任意 $n$ 边形的内角和等于 $(n-2) \times 180^{\circ}$. ## 多边形的外角 **定义** 多边形内角的一边和另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。 对于任一个 $n$ 边形每一内角取一个相应的外角, 如图 3.42 中的 $\alpha_1^{\prime}, \alpha_2^{\prime}, \ldots, \alpha_n^{\prime}$,很显然, 一个内角与它相应的一个外角和为一个平角, 因此: $(n-2)$ 个平角外角和 + 外角和 $=$ 内角和 + 外角和 $$ \begin{aligned} & =\left(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n\right)+\left(\alpha_1^{\prime}+\alpha_2^{\prime}+\cdots+\alpha_n^{\prime}\right) \\ & =n \text { 个平角 } \end{aligned} $$ $\therefore$ 外角和 $=2$ 个平角 $=360^{\circ}$ 因而有多边形外角和定理: > **多边形外角和定理**任意多边形外角和都等于 $360^{\circ}$  ## 正多边形 **定义** 各边都相等, 各角都相等的多边形叫做正多边形. `例`在图 3.43 中, 已知: $A B C D E$ 是正五边形, 对角线 $\overline{A D} 、 \overline{C E}$ 相交于 $F$. 求证: $\triangle A E F 、 \triangle D E F 、 \triangle C D F$ 都是等腰三角形. 证明:由多边形内角和公式可知:正五边形的各内角和 $$ (5-2) \times 180^{\circ}=540^{\circ} $$ 由于正五边形各内角相等, $$ \begin{aligned} & \therefore \quad \angle A E D=540^{\circ} \times \frac{1}{5}=108^{\circ} \\ & \because \quad \triangle E A D \text { 是等腰三角形, } \\ & \therefore \quad \angle E A D=\angle E D A=\left(180^{\circ}-108^{\circ}\right) \times \frac{1}{2}=36^{\circ} \\ & \because \quad \triangle D C E \text { 也是等腰三角形, } \angle D=108^{\circ}, \\ & \therefore \quad \angle D E F=36^{\circ} . \\ & \therefore \quad \angle A E F=108^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ} \\ & \angle A F E=180^{\circ}-36^{\circ}-72^{\circ}=72^{\circ}, \overline{A E}=\overline{A F} . \end{aligned} $$ $\therefore \triangle A E F$ 是等腰三角形. 同理可证 $\triangle C D F$ 也是等腰三角形, 腰长等于正五边形的边长; $\triangle D E F$ 也是等腰三角形。 `例`已知: 正六边形 $A B C D E F$ (图 3.44). 求证: 对角线 $\overline{A D} 、 \overline{B E} \overline{C F}$ 相交于一点, 且把正六边形 $A B C D
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