最后更新: 2025-04-14 09:32 查看: 99 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

三角形的外角和三边关系

## 三角形中的不等关系

### 三角形的外角
和三角形的内角相邻并且和它互补的角叫做三角形的**外角**．
如图 3.19 中的 $\angle A C D$ 就是 $\triangle A B C$ 的一外个角. 这时 $\angle A C B$ 称为 $\angle A C D$相邻的内角, $\angle A$ 和 $\angle B$ 分别称为 $\angle A C D$ 不相邻的内角.

**定理**

> **三角形的外角大于和它不相邻的任一内角.**

已知: $\triangle A B C$ 和外角 $\angle C B D$ (图3.20).
求证: $\angle C B D>\angle C$ 或 $\angle A$.
证明: 假定 $E$ 是 $\overline{B C}$ 中点, 引 $A E$ 并延长到 $F$, 使 $\overline{E F}=\overline{A E}$, 作 $\overline{B F}$.
在 $\triangle A C E$ 和 $\triangle F B E$ 中,
 ![图片](/uploads/2024-09/f777d6.jpg)
 
 
$$
\begin{array}{ll}
\because & \overline{A E}=\overline{E F} \text { (作图), } \\
\because & E \text { 是 } \overline{B C} \text { 中点 }(\text { 假定), } \\
\therefore & \overline{C E}=\overline{E B} \text { (线段中点定义), } \\
\because & \angle C E A=\angle B E F \text { (对顶角相等), } \\
\therefore & \triangle A C E \cong \triangle F B E \quad \text { (SAS), } \\
\therefore & \angle E B F=\angle C \text { (全等三角形的对应角相等). }
\end{array}
$$

由于 $\angle C B D>\angle E B F$ (全量大于它的任何一部分).

$$
\therefore \angle C B D>\angle C \text { (等量代换). }
$$

同理可证 $\angle C B D>\angle A$.

## 定理
**在一个三角形中, 如果两条边不等, 那么它们所对的角也不等, 大边所对的角较大; 反之, 如果在一个三角形中两个角不等, 那么它们所对的边也不等. 大角所对的边较大.**

已知: $\triangle A B C$ (图 3.21)
 ![图片](/uploads/2024-09/6f816f.jpg)
 
 1. $\overline{A B}>\overline{A C} \quad \Rightarrow \quad \angle C>\angle B$
2. $\angle C>\angle B \quad \Rightarrow \quad \overline{A B}>\overline{A C}$

证明: 先证 $\overline{A B}>\overline{A C} \Rightarrow \angle C>\angle B$.
在 $A B$ 上截 $\overline{A D}=\overline{A C}$, 则 $\triangle A D C$ 为等腰三角形。
$\therefore \quad \angle 1=\angle 2$.
由于 $\angle A C B>\angle 1$ （不等量基本性质6）
$\therefore \angle A C B>\angle 2$ (等量代换).
但 $\angle 2>\angle B$ (三角形的外角大于和它不相邻的任一内角),
$\therefore \angle A C B>\angle B$ (不等量基本性质 5)
即: $\angle C>\angle B$.
我们再证 $\angle C>\angle B \Rightarrow \overline{A B}>\overline{A C}$
如果 $\overline{A B}$ 不大于 $\overline{A C}$, 那么 $\overline{A B}=\overline{A C}$ 或 $\overline{A B}<\overline{A C}$. 若 $\overline{A B}=\overline{A C}$, 则 $\angle B=\angle C$, 若 $\overline{A B}<\overline{A C}$, 则 $\angle C<\angle B$, 这两种结果都和 $\angle C>\angle B$ 矛盾.
$\therefore \angle C>\angle B \Rightarrow \overline{A B}>\overline{A C}$

## 定理

**三角形任意两边之和大于第三边.**

已知: $\triangle A B C$ (图 3.23).
求证: $\overline{A B}+\overline{A C}>\overline{B C}$.
证明：在 $B A$ 的延长线上取一点 $D$ ，使 $A D=A C$ 。则 $\triangle A C D$ 为等腰三角形.
$\therefore \quad \angle 1=\angle 2$
$\because \angle B C D>\angle 1$ (不等量基本性质 6$)$
$\therefore \angle B C D>\angle 2$ (等量代换).
在 $\triangle B C D$ 中, 由前面的定理可知: $\overline{B D}>\overline{B C}$, 但 $\overline{B D}=\overline{A B}+\overline{A D}=$

$$
\begin{aligned}
\overline{A B} & +\overline{A C} \\
& \therefore \quad \overline{A B}+\overline{A C}>\overline{B C}
\end{aligned}
$$

### 推论
**三角形任一边大于其他两边之差.**

下面我们举例说明上述定理的一些应用.
例3.10 已知： $\triangle A B C$ 中 $\overline{A B}=\overline{A C}, D$ 点在 $\overline{B C}$ 上, $E$ 点在 $\overline{B C}$ 的延长线上 (图 3.23).
求证：$AD < AB < AE$
 ![图片](/uploads/2024-09/5603cc.jpg)
 
 证明: $\because \quad \overline{A B}=\overline{A C}$

$$
\begin{aligned}
& \therefore \angle 1=\angle 2 \\
& \text { 又 } \because \angle 3>\angle 2 \\
& \therefore \quad \angle 3>\angle 1 \\
& \therefore \quad \overline{A B}>\overline{A D} \text { (在一个三角形中, 大角对大边.) } \\
& \text { 又: } \because \angle 2>\angle E \\
& \therefore \angle 1>\angle E \\
& \therefore \quad \overline{A E}>\overline{A B} \text { (在一个三角形中, 大角对大边. ) }
\end{aligned}
$$

因此有: $\overline{A D}<\overline{A B}<\overline{A E}$
例3.11 已知： $E$ 点在 $\triangle A B C$ 内（图 3.24）。
求证:
1. $\angle B E C>\angle A$
2. $\overline{B E}+\overline{E C}<\overline{A B}+\overline{A C}$

证明: 延长 $\overline{B E}$ 交 $\overline{A C}$ 于 $D$ 点, 则 $\angle B E C>\angle 1, \angle B E C>\angle 1$
$\therefore \angle B E C>\angle A$ （不等量基本性质 5).
又 $\because \overline{B E}+\overline{E D}<\overline{A D}+\overline{A B}, \overline{E C}<\overline{E D}+\overline{D C}$ (三角形两边之和大于第三边).

$$
\begin{aligned}
& \therefore \overline{B E}+\overline{E D}+\overline{E C}<\overline{A D}+\overline{A B}+\overline{E D}+\overline{D C} \text { (不等量基本性质 } 3 \text { ). } \\
& \therefore \overline{B E}+\overline{E C}<\overline{A B}+\overline{A C} \text { (不等量基本性质 1). }
\end{aligned}
$$

例 3.12 如图 3.25 所示, $A 、 B$ 是平面上直线 $\ell$ 同侧的两点, 试在直线 $\ell$ 上求一点 $P$, 使 $\overline{A P}+\overline{P B}$ 最短.

在没有作这题前, 让我们想一想该怎样着手, 我们要求 $\overline{A P}+\overline{P B}$ 最短, 但怎样才能最短呢?

我们知道两点间的直线段最短, 但是我们却要在 $\ell$ 上求一点, 使 $\overline{A P}+\overline{P B}$最短. 如果 $A, B$ 两点在 $\ell$ 的两侧, 那么问题要简单得多 (作 $\overline{A B}$ 与 $\ell$ 交于 $P$, $P$ 点就是所求的点). 但我们曾学过, 如果两点是轴对称点, 那么它们的对称轴就是两点间线段的垂直平分线, 并且对称轴上的点到两对称点的距离相等. 我们只要作出 $A$ 点关于轴 $\ell$ 的对称点 $A^{\prime}$, 我们求 $\overline{A P}+\overline{P B}$ 的最小值, 就可转化为求 $\overline{A^{\prime} P}+\overline{P B}$ 的最小值了. 而 $A^{\prime} 、 B$ 两点在 $\ell$ 的异侧, 这是很容易的.
 ![图片](/uploads/2024-09/dfa21e.jpg)
 解: 作 $A$ 点关于轴 $\ell$ 的对称点 $A^{\prime}$, 作 $\overline{A^{\prime} B}$ 与 $\ell$ 相交于 $P$, 则 $P$ 点使 $\overline{A P}+\overline{P B}$最短. 因为, 如果在 $\ell$ 上任找另外一点 $C$, 在 $\triangle A^{\prime} B C$ 中, $\overline{A^{\prime} B}<\overline{A^{\prime} C}+\overline{C B}$ (三角形两边之和大于第三边), 但 $\overline{A^{\prime} B}=\overline{A^{\prime} P}+\overline{P B}$

将 $\overline{A^{\prime} P}=\overline{A P}, \overline{A^{\prime} C}=\overline{A C}$ 代人上式, 则得： $\overline{A P}+\overline{P B}<\overline{A C}+\overline{C B}$.
这就证明了 $P$ 点使 $\overline{A P}+\overline{P B}$ 最短.
注意: 如果 $\ell$ 是镜子的话, 那么从 $A$ 点发出的光线, 若反射到 $B$ 点, 那么 $\overline{A P}$ 、 $\overline{P B}$ 就是光所走的路线. 因为光线总是走最近的路，在光学中就有："人射角等于反射角" 这条定律. 即 $\angle A P D=\angle B P C$. 在光学中由观测得到的结果和我们用数学定理得出的结果一致. 在自然界中我们有能力观测到的结论是有限的, 如何由这些有限的可观测的结论, 得到更进一步的结论, 甚至有些是观测不到的结论, 我们需要数学这样有力的工具.

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