最后更新: 2025-06-25 14:28 查看: 184 次反馈同步训练

三角形的角的关系

## 三角形的内角和
`例`已知：$\triangle A B C$（图 12－6）．
求证：$\angle A+\angle B+\angle A C B=180^{\circ}$ ．

证明：延长 $B C$ 到 $D$ ，过 $C$ 作 $C E / / A B$（图 12－6）．

![图片](/uploads/2025-06/3bb5e0.jpg)

$$
\begin{array}{ll}
\therefore & \angle 1=\angle A, \angle 2=\angle B . \\
\because & \angle 1+\angle 2+\angle A C B=180^{\circ}, \\
\therefore & \angle A+\angle B+\angle A C B=180^{\circ} .
\end{array}
$$

由以上的证明，我们可以得到三角形三个内角之间的一个重要性质．

> **定理 三角形三个内角的和等于 $180^{\circ}$ ．**

这个定理称为三角形内角和定理，它的应用十分广泛。
以上的各种证明方法，启发我们在添加辅助线时，要利用已经学过的相关知识．比如：平角等于 $180^{\circ}$ ．

## 三角形的外角
和三角形的内角相邻并且和它互补的角叫做三角形的**外角**．
如图 3.19 中的 $\angle A C D$ 就是 $\triangle A B C$ 的一外个角. 这时 $\angle A C B$ 称为 $\angle A C D$相邻的内角, $\angle A$ 和 $\angle B$ 分别称为 $\angle A C D$ 不相邻的内角.

**推论**

> 推论1 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
推论 2 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．

已知: $\triangle A B C$ 和外角 $\angle C B D$ (图3.20).
求证: $\angle C B D>\angle C$ 或 $\angle A$.
证明: 假定 $E$ 是 $\overline{B C}$ 中点, 引 $A E$ 并延长到 $F$, 使 $\overline{E F}=\overline{A E}$, 作 $\overline{B F}$.
在 $\triangle A C E$ 和 $\triangle F B E$ 中,
 ![图片](/uploads/2024-09/f777d6.jpg)
 
 
$$
\begin{array}{ll}
\because & \overline{A E}=\overline{E F} \text { (作图), } \\
\because & E \text { 是 } \overline{B C} \text { 中点 }(\text { 假定), } \\
\therefore & \overline{C E}=\overline{E B} \text { (线段中点定义), } \\
\because & \angle C E A=\angle B E F \text { (对顶角相等), } \\
\therefore & \triangle A C E \cong \triangle F B E \quad \text { (SAS), } \\
\therefore & \angle E B F=\angle C \text { (全等三角形的对应角相等). }
\end{array}
$$

由于 $\angle C B D>\angle

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