最后更新: 2025-06-25 11:49 查看: 104 次反馈同步训练

三角形的三边关系

## 三角形的三边关系

我们已经学过，两点之间线段最短．在图 $12-3$ 中，$A B+A C>B C, A B+B C>A C, A C+B C>A B$ ．于是可以总结出三角形三边之间的一个性质，即
> 三角形两边之和大于第三边。

我们将上面的不等式作适当变形，便可以得到： $B C-A B<A C, B C-A C<A B, A B-A C<B C$ ．于是可总结出三角形三边之间的又一个性质，即

> 三角形两边之差小于第三边．

![图片](/uploads/2025-06/002853.jpg)
 图 $12-3$
 
 `例` 下面三组线段能围成三角形的是（ ）
A． $2 cm 、 6 cm 、 7 cm$
B． $5 cm 、 10 cm 、 5 cm$
C． $3 cm 、 3 cm 、 8 cm$
D． $11 cm 、 11 cm 、 23 cm$

解：把数据从小到大排列， 根据两边之和大于第三边，取最小的两个数之和大于第三边。两边之差小于第三边，取最大数和最小数之差小于第三边，可以看到选A

`例` 已知等腰三角形的周长为 12 cm ，其中一边的长为 3 cm ，求另外两边的长．

解：因为长为 3 cm 的边可能是腰，也可能是底，所以分两种情况计算．
（1）如果 3 cm 长的边为底，设腰长为 $x cm$ ．
由已知条件，有

解出

$$
\begin{gathered}
x+x+3=12 . \\
x=4.5 .
\end{gathered}
$$

（2）如果 3 cm 长的边为腰，设底边长为 $x cm$ ．
由已知条件，有

$$
\begin{gathered}
3+3+x=12 . \\
x=6 .
\end{gathered}
$$

解出
因为 $3+3=6$ ，不符合三角形两边之和大于第三边，所以以 3 cm 长为腰不能组成三角形．

答：另外两边的长都是 4.5 cm ．

## 定理

定理：在一个三角形中, 如果两条边不等, 那么它们所对的角也不等, 大边所对的角较大; 反之, 如果在一个三角形中两个角不等, 那么它们所对的边也不等. 大角所对的边较大.

上面结论可以简记：

> **大边对大角，大角对大边。**

`例`已知： $\triangle A B C$ 中 $\overline{A B}=\overline{A C}, D$ 点在 $\overline{B C}$ 上, $E$ 点在 $\overline{B C}$ 的延长线上 (图 3.23).
求证：$AD < AB < AE$
 ![图片](/uploads/2024-09/5603cc.jpg)
 
 证明: $\because \quad \overline{A B}=\overline{A C}$

$$
\begin{aligned}
& \therefore \angle 1=\angle 2 \\
& \text { 又 } \because \angle 3>\angle 2 \\
& \therefore \quad \angle 3>\angle 1 \\
& \therefore \quad \overline{A B}>\overline{A D} \text { (在一个三角形中, 大角对大边.) } \\
& \text { 又: } \because \angle 2>\angle E \\
& \therefore \angle 1>\angle E \\
& \therefore \quad \overline{A E}>\overline{A B} \text { (在一个三角形中, 大角对大边. ) }
\end{aligned}
$$

因此有: $\overline{A D}<\overline{A B}<\overline{A E}$

`例`已知： $E$ 点在 $\triangle A B C$ 内（图 3.24）。
求证:
1. $\angle B E C>\angle A$
2. $\overline{B E}+\overline{E C}<\overline{A B}+\overline{A C}$

证明: 延长 $\overline{B E}$ 交 $\overline{A C}$ 于 $D$ 点, 则 $\angle B E C>\angle 1, \angle B E C>\angle 1$
$\therefore \angle B E C>\angle A$ （不等量基本性质 5).
又 $\because \overline{B E}+\overline{E D}<\overline{A D}+\overline{A B}, \overline{E C}<\overline{E D}+\overline{D C}$ (三角形两边之和大于第三边).

$$
\begin{aligned}
& \therefore \overline{B E}+\overline

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