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函数的最大值与最小值

## 函数的最大值与最小值
**极值和最值的区别**
函数的极值是函数在局部的最大值或最小值．下面讨论的是**函数在其定义域或指定范围的最大值或最小值**．

极值的概念是局部性的，是描述函数在某一点邻域内的性态. 而最值是究函数在一个区间上的最大值、最小值问题. 由闭区间上连续函数的性质知，若   $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一定取得最大值$M$和最小值$m$,参考下图，不难发现

①如果 $m, M$ 在区间的端点取得，则必为 $f(a)$ 或 $f(b)$ ；
②如果 $m, M$ 在区间的内部取得，即存在 $\xi_1 \in(a, b)$ 或 $\xi_2 \in(a, b)$ ，使得 $m=f\left(\xi_1\right)$ 或 $M=f\left(\xi_2\right)$ ，则此时的 $\xi_1$ 或 $\xi_2$ 一定是 $f(x)$ 的极值点（注意到：当 $f(x)$ 可导时，极值点产生于驻点）．

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228eb3cc96.png)

### 寻找最值
从数学的角度看问题，可以由下列过程求最大值和最小值.
① 找出 $(a, b)$ 内所有驻点及不可导点，假设为$x_i$ 
② 计算 $f\left(x_i\right)$ 及 $f(a)$ 与 $f(b)$ 的大小；
③ 比较②里各值的最大值与最小值。

`例` 求函数 $f(x)=x^4-2 x^2+5$ 在区间 $[-2,2]$ 上的最大值和最小值.
解 由 $f^{\prime}(x)=4 x^3-4 x=4 x(x-1)(x+1)$
令 $f^{\prime}(x)=0$ 解得函数在 $(-2,2)$ 内的驻点 $x_1=-1 ，  x_2 = 0 , x_3=1$ 在驻点的函数 值为 $f(-1)=4 ; f(0)=5 \quad f(1)=4$
在端点的函数值为  $f(-2)=f(2)=13 $，
比较上面5个点，可得 最大值为 $f(2)=f(-2)=13$,最下值为$f(1)=f(-1)=4$

`例` 求函数 $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值和最小值.
解 由 $f^{\prime}(x)=\frac{1 \cdot\left(1+x^2\right)-x \cdot(2 x)}{\left(1+x^2\right)^2}=\frac{(1-x)(1+x)}{\left(1+x^2\right)^2}$
令 $f^{\prime}(x)=0$ 解得函数在 $(0,2)$ 内的驻点为 $x=1$ 在驻点的函数值为 $f(1)=\f

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