最后更新: 2025-07-02 11:45 查看: 144 次反馈能力测评

相似三角形

## 相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形叫**相似三角形。** ，进一步可以推广到多边形，如果两个多边形对应角相等对应边成比例，则称为**相似多边形**，对应边的比叫做相似比，也叫做放大率或缩小率．

五边形 $A B C D E$ 与五边形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} E^{\prime}$ 相似，记作＂五边形 $A B C D E \backsim$ 五边形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} E^{\prime}$＂，读作＂五边形 $A B C D E$ 相似于五边形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} E^{\prime \prime}$＂，其中 $A B: A^{\prime} B^{\prime}$称为相似比．一般地，**在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上**．

## 相似三角形的判定定理
**定理1**
平行于三角形一边的直线, 截三角形其他两边所得的三角形与原三角形相似。（角角AA）判定法

利用上述定理和推论又可推出以下两个相似三角形的判定定理：

**定理 2**
如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边成比例，那么这两个三角形相似. （边边边SSS）

**定理 3**
如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边成比例, 并且夹角相等,那么这两个三角形相似. （边边角 SAS）

**定理 4**
 在直角三角形里，斜边和一条直角边成比例那么这两个三角形相似.（HL）
 
 ## 相似三角形的性质
 相似三角形除对应角相等, 对应边成比例外, 还有下列一些性质:
定理
1. 相似三角形周长的比等于它们的相似比.
2. 相似三角形对应高的比等于它们的相似比.
3. 相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方.

已知： $\triangle A B C \backsim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, \overline{B C}$ 的对应边是 $\overline{B^{\prime} C^{\prime}}, \overline{A D} \perp \overline{B C}, \overline{A^{\prime} D^{\prime}} \perp \overline{B^{\prime} C^{\prime}}$ (图 3.107).
 ![图片](/uploads/2024-09/beec3f.jpg)
 求证
 1. $\frac{\overline{A B}+\overline{B C}+\overline{C A}}{\overline{A^{\prime} B^{\prime}}+\overline{B^{\prime} C^{\prime}}+\overline{C^{\prime} A^{\prime}}}=\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}$
2. $\frac{\overline{A D}}{\overline{A^{\prime} D^{\prime}}}=\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}$
3. $\frac{\triangle A B C \text { 面积 }}{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \text { 面积 }}=\left(\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}\right)^2$

证明:
1. $\because \triangle A B C \backsim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, \overline{B C}$ 和 $\overline{B^{\prime} C^{\prime}}$ 为对应边, 设相似比为 $k$, 则

$$
\begin{aligned}
& \frac{\overline{A B}}{\overline{\overline{A^{\prime} B^{\prime}}}}=\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}=\frac{\overline{C A}}{\overline{C^{\prime} A^{\prime}}}=k \\
& \therefore \overline{A B}=k \overline{A^{\prime} B^{\prime}}, \quad \overline{B C}=k \overline{B^{\prime} C^{\prime}}, \quad \overline{C A}=k \overline{C^{\prime} A^{\prime}} \\
& \therefore \quad \overline{A B}+\overline{B C}+\overline{C A}=k\left(\overline{A^{\prime} B^{\prime}}+\overline{B^{\prime} C^{\prime}}+\overline{C^{\prime} A^{\prime}}\right) \\
& \therefore \quad \frac{\overline{A B}+\overline{B C}+\overline{C A}}{\overline{A^{\prime} B^{\prime}}+\overline{B^{\prime} C^{\prime}}+\overline{C^{\prime} A^{\prime}}}=k=\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}
\end{aligned}
$$

2. $\because \triangle A B C \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, B$ 与 $B^{\prime}$ 是对应顶点,

$$
\begin{aligned}
& \therefore \quad \angl

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