最后更新: 2025-07-02 11:45 查看: 64 次反馈同步训练

相似三角形

## 相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形叫**相似三角形。** ，进一步可以推广到多边形，如果两个多边形对应角相等对应边成比例，则称为**相似多边形**，对应边的比叫做相似比，也叫做放大率或缩小率．

五边形 $A B C D E$ 与五边形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} E^{\prime}$ 相似，记作＂五边形 $A B C D E \backsim$ 五边形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} E^{\prime}$＂，读作＂五边形 $A B C D E$ 相似于五边形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} E^{\prime \prime}$＂，其中 $A B: A^{\prime} B^{\prime}$称为相似比．一般地，**在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上**．

## 相似三角形的判定定理
**定理1**
平行于三角形一边的直线, 截三角形其他两边所得的三角形与原三角形相似。（角角AA）判定法

利用上述定理和推论又可推出以下两个相似三角形的判定定理：

**定理 2**
如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边成比例，那么这两个三角形相似. （边边边SSS）

**定理 3**
如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边成比例, 并且夹角相等,那么这两个三角形相似. （边边角 SAS）

**定理 4**
 在直角三角形里，斜边和一条直角边成比例那么这两个三角形相似.（HL）
 
 ## 相似三角形的性质
 相似三角形除对应角相等, 对应边成比例外, 还有下列一些性质:
定理
1. 相似三角形周长的比等于它们的相似比.
2. 相似三角形对应高的比等于它们的相似比.
3. 相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方.

已知： $\triangle A B C \backsim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, \overline{B C}$ 的对应边是 $\overline{B^{\prime} C^{\prime}}, \overline{A D} \perp \overline{B C}, \overline{A^{\prime} D^{\prime}} \perp \overline{B^{\prime} C^{\prime}}$ (图 3.107).
 ![图片](/uploads/2024-09/beec3f.jpg)
 求证
 1. $\frac{\overline{A B}+\overline{B C}+\overline{C A}}{\overline{A^{\prime} B^{\prime}}+\overline{B^{\prime} C^{\prime}}+\overline{C^{\prime} A^{\prime}}}=\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}$
2. $\frac{\overline{A D}}{\overline{A^{\prime} D^{\prime}}}=\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}$
3. $\frac{\triangle A B C \text { 面积 }}{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \text { 面积 }}=\left(\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}\right)^2$

证明:
1. $\because \triangle A B C \backsim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, \overline{B C}$ 和 $\overline{B^{\prime} C^{\prime}}$ 为对应边, 设相似比为 $k$, 则

$$
\begin{aligned}
& \frac{\overline{A B}}{\overline{\overline{A^{\prime} B^{\prime}}}}=\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}=\frac{\overline{C A}}{\overline{C^{\prime} A^{\prime}}}=k \\
& \therefore \overline{A B}=k \overline{A^{\prime} B^{\prime}}, \quad \overline{B C}=k \overline{B^{\prime} C^{\prime}}, \quad \overline{C A}=k \overline{C^{\prime} A^{\prime}} \\
& \therefore \quad \overline{A B}+\overline{B C}+\overline{C A}=k\left(\overline{A^{\prime} B^{\prime}}+\overline{B^{\prime} C^{\prime}}+\overline{C^{\prime} A^{\prime}}\right) \\
& \therefore \quad \frac{\overline{A B}+\overline{B C}+\overline{C A}}{\overline{A^{\prime} B^{\prime}}+\overline{B^{\prime} C^{\prime}}+\overline{C^{\prime} A^{\prime}}}=k=\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}
\end{aligned}
$$

2. $\because \triangle A B C \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, B$ 与 $B^{\prime}$ 是对应顶点,

$$
\begin{aligned}
& \therefore \quad \angle B=\angle B^{\prime} \\
& \text { 又 } \because \quad \overline{A D} \perp \overline{B C}, \quad \overline{A^{\prime} D^{\prime}} \perp \overline{B^{\prime} C^{\prime}} \\
& \therefore \angle A D B=\angle A^{\prime} D^{\prime} B^{\prime}=90^{\circ} \text {. } \\
& \therefore \quad \triangle A B D \backsim \triangle A^{\prime} B^{\prime} D^{\prime} . \\
& \therefore \quad \frac{\overline{A D}}{\overline{A^{\prime} D^{\prime}}}=\frac{\overline{A B}}{\overline{A^{\prime} B^{\prime}}} \text {, 而 } \frac{\overline{A B}}{\overline{A^{\prime} B^{\prime}}}=\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}
\end{aligned}
$$

3. $\because \triangle A B C \backsim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$

$$
\therefore \quad \frac{\overline{A D}}{\overline{A^{\prime} D^{\prime}}}=\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}
$$

$$
\begin{aligned}
& \frac{\triangle A B C \text { 面积 }}{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \text { 面积 }}=\frac{\frac{1}{2} \overline{B C} \cdot \overline{A D}}{\frac{1}{2} \overline{B^{\prime} C^{\prime}} \cdot \overline{A^{\prime} D^{\prime}}}=\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}} \cdot \frac{\overline{A D}}{\overline{A^{\prime} D^{\prime}}} \\
& =\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}} \cdot \frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}=\left(\frac{\overline{B C}}{\overline{B^{\prime} C^{\prime}}}\right)^2
\end{aligned}
$$
同样可以证明相似三角形的对应中线、对应角平分线的比等于它们的相似
比．
 
 
 ## (双)A字型相似
 
`例` 如图，在 $\triangle A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上，点 $E$ 、点 $F$ 在边 $A C$ 上，且 $D E / / B C, \frac{A F}{F E}=\frac{A E}{E C}$ ．
（1）求证：$D F / / B E$ ；
（2）如且 $A F=2, E F=4, A B=6 \sqrt{3}$ ．求证 $\triangle A D E \sim \triangle A E B$ ．

![图片](/uploads/2025-07/c69c15.jpg)
 
 解：【详解】解：（1）$\because D E / / B C$ ，

$$
\begin{aligned}
& \therefore \frac{A D}{B D}=\frac{A E}{E C}, \\
& \because \frac{A F}{F E}=\frac{A E}{E C}, \\
& \therefore \frac{A F}{F E}=\frac{A D}{B D}, \\
& \therefore D F / / B E ;
\end{aligned}
$$

（2）$\because A F=2, E F=4$ ，
$\therefore$ 由（1）可知，$\frac{A D}{B D}=\frac{A F}{E F}=\frac{1}{2}, A E=6$ ，

$$
\begin{aligned}
& \because A B=6 \sqrt{3}, \\
& \therefore A D=\frac{1}{3} A B=2 \sqrt{3}, \\
& \therefore \frac{A E}{A B}=\frac{6}{6 \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{A D}{A E}=\

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