最后更新: 2025-06-26 10:44 查看: 19 次反馈同步训练

平行截割定理

## 平行截割定理
要划一个多边形的相似形, 往往要利用平行线, 我们先来学习平行截割定理.
**定理** 平行于三角形的一边并且和其他两边相交的直线，将其他两边分成比例线段.

已知： $\triangle A B C$ 中， $\overline{D E} / / \overline{B C}$ 交 $\overline{A B}$ 于 $D$; 交 $\overline{A C}$ 于 $E$ (图 3.101).
求证: $\frac{\overline{A D}}{\overline{D B}}=\frac{\overline{A E}}{\overline{E C}}$

证明: 
$\because \overline{D E} / / \overline{B C}$

$$
\begin{array}{ll} 
\therefore & {\triangle A D E} \backsim \triangle A B C \\ \therefore & \frac{\overline{A B}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{A C}}{\overline{A E}},

\quad \frac{\overline{A B}-\overline{A D}}{\overline{A D}}=\frac{\overline{A C}-\overline{A E}}{\overline{A E}}\end{array}

$\therefore \quad \frac{\overline{A D}}{\overline{D B}}=\frac{\overline{A E}}{\overline{E C}}$

![图片](/uploads/2024-09/f6dd94.jpg)
 
 
 
把上述定理推广就得到平行截割定理.

## 平行截割定理
三条或三条以上的平行线, 截任意两条直线, 所截出的对应线段成比例.
已知: $A D 、 B E 、 C F$ 三条直线互相平行, 并且与任意二直线 $\ell, m$ 分别交于 $A 、 B 、 C$ 和 $D 、 E 、 F$ 各点（图3.102）。

求证: $\frac{\overline{A B}}{\overline{B C}}=\frac{\overline{D E}}{\overline{E F}}$

证明: 过 $D$ 点引 $\ell$ 的平行线与直线 $B E 、 C F$ 分别交于 $G 、 H$ 两点. 则

$$
\frac{\overline{D G}}{\overline{G H}}=\frac{\overline{D E}}{\overline{E F}}
$$

又 $\because$ 四边形 $A B G D$ 和四边形 $B C H G$ 都是平行四边形.

$$
\begin{aligned}
& \therefore {\overline{D G}}={\overline{A B}}, \overline{G H}=\overline{B C} 
\end{alig

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