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高等数学
第三章 一元函数积分学
积分学起源与原函数
最后
更新:
2025-12-12 16:05
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积分学起源与原函数
黎曼积分;原函数
## 积分学概述 从现在开始,我们正式进入整个《高等数学》的核心--**积分学**。高等数学里的积分学也被成为“黎曼积分”以区别《实变函数》里的积分表学,那里的积分被称作“勒贝格积分”,黎曼积分以细化$x$轴为核心思维,而勒贝格积分以细化$y$轴为核心。要查看其区别请点击[此处](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1455) ### 黎曼 Riemann 黎曼,德国数学家,黎曼几何创始人,复分析创始人之一。在实分析领域,他最著名的贡献是第一个严格的定义积分:黎曼积分以及他关于傅立叶级数的工作。他在1859年发表的关于素数计数函数的著名论文包含了黎曼猜想的原始陈述,其被认为是解析数论中最具影响力的论文之一。通过对微分几何的开拓性贡献,黎曼奠定了广义相对论数学的基础,更多介绍请点击 [黎曼](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=638) {width=200px} ### 黎曼积分 根据黎曼思想创立的积分叫做黎曼积分(英语:Riemann integral),黎曼首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。 让函数 $f$ 为定义在区间 $[a, b]$ 的非负函数,我们想要计算 $f(x)$ 所代表的曲线与 $x$ 坐标轴跟两条垂直线 $x=a$ 跟 $x=b$ 所夹图形的面积(既下图区域 $S$ 的面积),可将区域 $S$ 的面积以下面符号 表示: $$ S=\int_a^b f(x) d x $$ 黎曼积分的基本概念就是对 $x$-轴的分割越来越细,则其所对应的矩形面积和也会越来越趋近图形 $S$ 的面积 (参考下方动画演示) 。同时请注意,如函数为负函数, $f:[a, b] \mapsto \mathbb{R} {<0}$ ,则其面积亦为 负值。 {width=300px} {width=300px} ## 原函数 在微分学里,已经学会了求导,例如, 已知函数 $y=\sin 2 x$, 求其导函数, 即
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