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积分学与原函数

## 积分学概述
从现在开始，我们正式进入整个《高等数学》的核心--**积分学**。高等数学里的积分学也被成为“黎曼积分”以区别《实变函数》里的积分表学，那里的积分被称作“勒贝格积分”，黎曼积分以细化$x$轴为核心思维，而勒贝格积分以细化$y$轴为核心。要查看其区别请点击[此处](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1455)

### 黎曼 Riemann
黎曼，德国数学家，黎曼几何创始人，复分析创始人之一。在实分析领域，他最著名的贡献是第一个严格的定义积分：黎曼积分以及他关于傅立叶级数的工作。他在1859年发表的关于素数计数函数的著名论文包含了黎曼猜想的原始陈述，其被认为是解析数论中最具影响力的论文之一。通过对微分几何的开拓性贡献，黎曼奠定了广义相对论数学的基础。

![图片](/uploads/2023-10/448adb.jpg){width=200px}

### 黎曼积分
由黎曼创立的积分叫做黎曼积分（英语：Riemann integral），黎曼首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。
让函数 $f$ 为定义在区间 $[a, b]$ 的非负函数，我们想要计算 $f(x)$ 所代表的曲线与 $x$ 坐标轴跟两条垂直线 $x=a$ 跟 $x=b$ 所夹图形的面积（既下图区域 $S$ 的面积），可将区域 $S$ 的面积以下面符号 表示:

$$
S=\int_a^b f(x) d x
$$

黎曼积分的基本概念就是对 $x$-轴的分割越来越细，则其所对应的矩形面积和也会越来越趋近图形 $S$ 的面积 (参考下方动画演示) 。同时请注意，如函数为负函数， $f:[a, b] \mapsto \mathbb{R} {<0}$ ，则其面积亦为 负值。
![图片](/uploads/2023-10/7261a6.svg){width=300px}

![Riemann.gif](/uploads/2023-10/386520.gif){width=300px}

## 原函数
在微分学里，已经学会了求导，例如, 已知函数 $y=\sin 2 x$, 求其导函数, 即

$$
y^{\prime}=(\sin 2 x)^{\prime}=2 \cos 2 x .
$$

现在我们来做一件相反的事情: 已知某个函数的导函数是 $\cos 2 x$, 即 $() ^{\prime}=\cos 2 x$, 问: 这个函数是什么?
利用导数公式可以猜到, 这个函数可以是 $y=\frac{1}{2} \sin 2 x$, 也可以是 $y=\frac{1}{2} \sin 2 x+1$, 答案并不唯一.
这种已知函数的导数或微分, 求该函数的运算称为“积分”运算. 本节将介绍不定积分的概念及其计算方法.

**定义1** 已知 $f(x)$ 是定义在某区间 $I$ 内的函数, 若存在函数 $F(x)$, 使得

$$
F^{\

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