最后更新: 2025-07-12 07:08 查看: 12 次反馈同步训练

矩母函数

## 矩母函数
矩母函数是讨论随机变量和的一个有力的工具，同时它也给出了随机变量的分布与其各阶矩间的关系。

对每一个随机变量我们都可以根据其分布来定义它的矩母函数．下面分别对离散型随机变量和连续型随机变量给出其矩时函数的定义。

**定义**  设 $\xi$ 是离散型随机变量，其分布列为

$$
\left(\begin{array}{lllll}
x_1, & x_i, & \cdots & x_n, & \cdots \\
p\left(x_1\right), & p\left(x_2\right), & \cdots & p\left(x_n\right), & \cdots
\end{array}\right)
$$

则离散型函数

$$
\boxed{
M_{{\xi}(t)}=\sum_{t=1}^{\infty} e^{t x} jp\left(x_j\right)
}
$$

称为 $\xi$ 的矩母函数．

（2）若 $\xi$ 是具有分布密度为 $f(x)$ 的连续型随机变量，则定义其矩母函数为

$$
\boxed {
M_{{\xi}(t)}=\int_{-\infty}^{\infty} e^{t x} f(x) d x 
}
$$

## 为什么引入矩母函数
矩母函数，顾名思义，就是“k阶矩”的母亲，换句话说，用他来生成1阶矩，2阶矩，k阶矩。如果仔细观察矩母函数，可以发现他们额外引入了一个参数：$e^x$  
数学家们太喜欢$e^x$，因为 $(e^x)'=e^x, \int e^x=e^x$ ，这给计算带来了方便。

把$e^x$ 泰勒展开
 $$
 \mathrm{e}^x=1+x+\frac{1}{2!} x^2+\cdots+\frac{1}{n!} x^n+o\left(x^n\right)
$$
可以看到，当需要的精度不同，只要取前面$n$项就可以了。

那么对于矩，我们也有类似的想法

$$
\begin{aligned}
E\left(e^{t x}\right) & =E\left(1+t x+\frac{(t x)^2}{2!}+\frac{(t x)^3}{3!}+\cdots+\frac{(t x)^n}{n!}\right) \\
& =E(1)+t E(x)+\frac{t^2}{2!} E\left(x^2\right)+\frac{t^3}{3!} E\left(x^3\right)+\cdots+\frac{t^n}{n!} E\left(x^n\right)
\end{aligned}
$$

然后求导

$$
\begin{aligned}
\frac{d}{d t} E\left(e^{t x}\right)= & \frac{d}{d t}\left(E(1)+t E(x)+\frac{t^2}{2!} E\left(x^2\right)+\frac{t^3}{3!} E\left(x^3\right)+\cdots+\frac{t^n}{n!} E\left(x^n\right)\right) \\
= & 0+E(x)+0+0+\cdots+0 \\
= & E(x) 
\end{aligned}
$$

当我第一次看到矩母函数时，我无法理解 $t$ 在函数中的作用，因为 $t$ 似乎是一些我不感兴趣的任意变量。然而，正如你所看到的，$t$ 是一个辅助变量。**我们引入 $t$ 是为了能够使用微积分（导数），并使（我们不感兴趣的）项为零**。

但是我们可以直接了当，使用期望值的定义来计算矩，如下
$$
E\left(X^n\right)=\int_{-\infty}^{\infty} x^n \cdot \operatorname{pdf}(x), d x
$$

为什么我们还需要矩母函数？

答案是：方便
比如我们知道指数分布的密度函数是
$$
f_x(x)= \begin{cases}\lambda \cdot e^{-\lambda x} & \text { if } x>0 \\ 0 & \text { else }\end{cases}
$$

计算他的矩母函数
$$
\begin{aligned}
M G F_x(t)=E\left[e^{t x}\right] & =\int_0^{\infty} e^{t x} \cdot \lambda e^{-\lambda x} d x \\
& =\lambda \int_0^{\infty} e^{(t-\lambda) x} d x
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& =\lambda\left|\frac{1}{t-\lambda} e^{(t-\lambda) x}\right|_0^{\infty} \\
& =\lambda\left(0-\frac{1}{t-\lambda}\right)=\frac{\lambda}{\lambda-t}
\end{aligned}
$$

对于存在的矩母函数，应该存在期望值 $E\left(e^t x\right)$ 。这就是为什么＂$t-\lambda<0$＂是要满足的重要条件的原因，因为，不满足积分将不会收敛。（这称为散度检验，这是在尝试确定积分是收敛还是发散时首先要检查的内容。）

**一旦有了矩母函数：$\lambda /(\lambda-t)$ ，计算矩就变成了求导数的问题，这比积分更容易直接计算期望值。**

看看下面两个函数求3阶矩,你是喜欢用求导计算还是积分计算

$$
E\left(x^3\right)=\frac{d^3}{d t^3}\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right) \quad \text { or } \quad E\left(x^3\right)=\int_0^{\infty} x^3 \lambda e^{-\lambda x} d x
$$

当然是求导了，**使用矩母函数，可以通过求导数而不是积分来计算矩！**

`例` 设 $\xi$ 是在 $〔 a, b 〕$ 上均匀分布的随机变量，则

$$
M_t(t)=\int_a^b-\frac{e^{t x}}{b-a} d x=\frac{1}{t(b-a)} \cdot\left[e^{b t}-e^{a t}\right]
$$

`例` 设 $\xi$ 服从参数为 $n, p$ 的二项分布，则其矩母函数为

$$
\begin{aligned}
M_t(t) & =\sum_{k=0}^n e^t\binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \\
& =\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(p e^t\right)^k(1-p)^{n-k} \\
& =\left[p e^t+(1-p)\right]^n
\end{aligned}
$$

`例` 设 $\xi$ 服从参数为 $\lambda$ 的Poisson分布，则

$$
\begin{aligned}
M_t(t) & =\sum_{k=0}^{\infty} e^{t k} \frac{\lambda

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