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概率论与数理统计
第四篇 随机变量的数字特征
分位数和中位数
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2025-06-19 08:47
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分位数和中位数
## 中位数与分位数的基本理解（高中版） **中位数**：一组数据按从小到大排序后，位于正中间的那个数值。 （1）如果数据的个数 n 是奇数，中位数就是排序后第 (n+1)/2 个位置上的数值。 例如：数据 [1, 3, 5, 7, 9] (n=5，奇数)。排序后就是 [1, 3, 5, 7, 9]。中位数是第 (5+1)/2 = 第 3 个位置的数，即 5。 （2）如果数据的个数 n 是偶数，中位数是排序后第 n/2 个位置和第 (n/2)+1 个位置上两个数值的平均数。 例如：数据 [1, 3, 5, 7] (n=4，偶数)。排序后是 [1, 3, 5, 7]。中位数是第 4/2=2 个位置（3）和第 (4/2)+1=3 个位置（5）的平均数，即 (3+5)/2 = 4。 > 中位数把数据分成了两半。一半的数据比中位数小，另一半的数据比中位数大。 **分位数**：分位数是将一组数据按照从小到大排序后，然后把排列的数据分割成相等部分的点。 比如“班级里 20%的学生考试成绩在90分以上” **如何理解分位数（以四分位数为例）：** 想象你把所有数据从小到大排成一条线： Q1 是把这条线切成 1/4 和 3/4 的点。最前面的 25% 的数据在 Q1 左边。 Q2 (中位数) 是把这条线切成两半的点。 Q3 是把这条线切成 3/4 和 1/4 的点。最后的 25% 的数据在 Q3 右边。 中间 50% 的数据位于 Q1 和 Q3 之间，这个范围称为四分位距，是衡量数据离散程度的重要指标。 ## 定义 设 连续型随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，密度函数为 $f(x)$ ， $$ F\left(v_p\right)=P\left(X \leq v_p\right)=\int_{-\infty}^{v_p} f(x) d x=p $$ 则称 $v_p=F^{-1}(p)$ 是随机变量 $X$ 的 $p$ 分位数。 特别地，当 $p=\frac{1}{2}$ 时，称 $v_{\frac{1}{2}}$ 为中位数 `例` 已知随机变量
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