最后更新: 2025-08-28 06:59 查看: 21 次反馈同步训练

解的存在与唯一性定理

## 常微分方程解的存在唯一性定理

高等数学里面我们学习的常微分方程，一阶的有分离变量方程，齐次方程，一阶线性微分方程，二阶常系数线性微分方程，可降阶方程。高阶的只有常系数齐次线性微分方程。

微分方程顾名思义是求解微分方程的问题．虽然人们已经知道了许多求解微分方程的办法。但并不是所有微分方程都能用初等积分法求解的。如早在1686年，微积分的发明者之一，著名的数学家莱布尼兹就提出一个一阶微分方程

$$
\frac{d y}{d x}=x^2+y^2
$$

的求解问题．这个形式上很简单的方程曾吸引了许多数学家的兴趣．经过 150 多年的探索，到1838年，刘维尔（Liouville，1809－1882）证明了上述微分方程是不可能用初等积分法求解的，亦即不可能用初等函数或它们的积分来表示这个方程的解。因此，我们不能奢望用初等积分法来求出所有微分方程的解。但对于某些特殊类型的微分方程，却是可以用初等积分法来求解的．本节的主要内容是介绍这些初等解法．

**一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢？或者说，一个微分方程在何种条件下一定有解呢？ 当有解时，它的初值问题有多少解呢？**

毫无疑问，这是一个十分基本的问题．不解决这个问题，对微分方程的进一步研究（无论是定性的还是定量的）就无从谈起。

柯西（Cauchy，1789－1857）在十九世纪二十年代第一个成功地建立了微分方程初值问题解的存在和唯一性定理（因此，后人把初值问题称为**柯西问题**）．

1876年，李卜西兹（Lipschitz，18321903）减弱了柯西定理的条件．

1893年，毕卡（Picard，1856－1941）用逐次逼近法在李卜西兹条件下对定理给出了一个新证明。

此外，皮亚诺（Peano，1858－1932）在更一般的条件下建立了柯西问题解的存在性定理（不顾及唯一性）。

### 解的存在与唯一性定理
含有初始值的一阶常微分方程可以表示为如下的一般形式

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d y}{d x}=f(x, y) \\
y\left(x_0\right)=y_0
\end{array}\right.
$$

对于这类定解问题，有以下解的存在与唯一性定理
**定理（解的存在与唯一性定理）** 如果 $f(x, y)$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)$ 在矩形区域 $\left\{(x, y)\left|\left|x-x_0\right|<a,\left|y-y_0\right|<b\right\}\right.$ 上连续，那么存在一个正数 $h(0<h \leq a)$ ，使得定解问题（10．2．1）在 $\left|x-x_0\right|<h$ 上有唯一的解 $y=\varphi(x)$ ，即在 $\left|x-x_0\right|<h$ 上成立

$$
\varphi^{\prime}(x)=f(x, \varphi(x))
$$

及

$$
\varphi\left(x_0\right)=y_0
$$

这个定理的证明超出本课程的要求，此处从略。
在这个定理中，只说明了在局部的解的存在性和唯一性，而且也没有说明解的表达式如何。事实上，并不是每个一阶常微分方程的解都可以用初等函数或它们的有限次积分来表达（这种方法称为初等积分法）。

因此，当拿到一个微分方程时，要能迅速判断他大致属于哪个类型。

## 附录： 李卜西兹 Lipschitz 条件证明思想
Lipschitz 条件．设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 内满足不等式

$$
\left|f\left(x, y_1\right)-f\left(x, y_2\right)\right| \leqslant L\left|y_1-y_2\right|
$$

其中常数 $L>0$ ．则称函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 内对 $y$ 满足李卜西兹条件（或简称李氏条件）．

定理 1 设初值问题（E）：$\frac{d y}{d x}=f(x, y), \quad y\left(x_0\right)=y_0$ ，
其中 $f(x, y)$ 在矩形区域

$$
R: \quad\left|x-x_0\right| \leqslant a, \quad\left|y-y_0\right| \leqslant b
$$

内连续，而且对 $y$ 满足李氏条件．则 $(E)$ 在区间 $I=\left[x_0-h, x_0+h\right]$ 上有并且只有一个解，其中常数

$$
h=\min \left(a, \frac{b}{M}\right) \text {, 而 } \quad M>\max _{(x, y) \in R}|f(, y)| \text {. }
$$

证明：

证明 为了突出思路，我们把证明分成以下四步：
（一）初值问题（ $E$ ）等价于积分方程 $y=y_0+\int_{x_0}^x f(x, y) d x$

事实上，设 $y=y(x)(x \in I)$ 是 $(E)$ 的解，则有

$$
y^{\prime}(x) \equiv f(x, y(x)), \quad(x \in I)
$$

和

$$
y\left(x_0\right)=y_0
$$

由此，对恒等式（1．2）积分并利用初值条件（1．3），得到

$$
y(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(x, y(x)) d x, \quad(x \in I)
$$

即 $y=y(x)$ 是积分方程（1．1）的解．反之，设 $y=y(x)(x \in I)$ 是（1．1）的解，则只要逆转上面的推导就可知道 $y=y(x)$ 是 $(E)$ 的解。

因此，我们只需要证明积分方程（1．1）在区间 $I$ 上有且只有一个解．
（二）用逐次迭代法构造毕卡序列

$$
y_{n+1}(x)=y_0+\int_{x_0}^x f\left(x, y_n(x)\right) d x, \quad(x \in I)
$$

下说明该序列连续，且满足李卜西兹条件。
$(n=0,1,2, \cdots)$ ，其中 $y_0(x)=y_0$ 。当 $n=0$ 时，注意到 $f\left(x, y_0(x)\right)$ 是 $I$ 上的连续函数，所以由 （1．4）可见

$$
y_1(x)=y_0+\int_{x_0}^x f\left(x, y_0(x)\right) d x, \quad(x \in I)
$$

在 $I$ 上是连续可微的，而且满足不等式

$$
\left|y_1(x)-y_0\right| \leqslant\left|\int_{z_0}^x\right| f\left(x, y_0(x)|d x| \leqslant M\left|x-x_0\right|\right.
$$

这就是说，在区间 $I$ 上 $\left|y_1(x)-y_0\right| \leqslant M h \leqslant b$ ．
因此，$f\left(x, y_1(x)\right)$ 在 $I$ 上是连续的．所以由（1．4）可见

$$
y_2(x)=y_0+\int_{x_0}^x f\left(x, y_1(x)\right) d x, \quad(x \in I)
$$

在 $I$ 上是连续可微的，而且满足不等式

$$
\left|y_2(x)-y_0\right| \leqslant\left|\int_{x_0}^x\right| f\left(x, y_1(x)\right)|d x| \leqslant M\left|x-x_0\right|
$$

从而在区间 $I$ 上 $\left|y_2(x)-y_0\right| \leqslant M h \leqslant b$ ．
如此类推，用归纳法可证：由（1．4）给出的毕卡序列 $y=y_n(x)$ 在 $I$ 上是连续的，而且满足不等式

$$
\begin{aligned}
& \left|y_n(x)-y_0\right| \leqslant M\left|x-x_0\right| \\
& (n=0,1,2, \cdots)
\end{aligned}
$$

（三）现证毕卡序列 $y=y_n(x)$ 一致收敛到（

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