最后更新: 2025-07-19 08:49 查看: 54 次反馈同步训练

极大无关组的求法

## 极大无关组的求法

本节通过两个例题来介绍给定一组向量里，求极大无关组的做法。只要一个题目会了，整个类型的例题应该都会了。

> **定理：矩阵的初等变换不改变向量间的线性关系。**

证明：略。

定理的解释：若对 $m \times n$ 矩阵 $A$ 仅施以初等**行变换**化为矩阵 $B$ ，则 $A$ 的列向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 同 $B$ 的列向量组 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 有向完全相同的线性关系，即：
如果$A$的某列向量可以表示为 
$$
\alpha_j=k_1 \alpha_{j_1}+k2  \alpha_{j_2}+...+k_s \alpha_{j_s}
$$

则 $B$ 的列向量组 $\beta_j$ 线性表示也可以表示为
$$
\beta_j=k_1 \beta_{j_1}+k_2 \beta_{j_2}+\cdots+k_s \beta_{j_s}
$$

反之，也是一样。 也就是他们的表示系数$k_1, k2, ...k_s$ 一样

`例` 求向量组 $\alpha_1=(1,-2,2,-1), \alpha_2=(2,-4,8$ ， $0), \alpha_3=(-2,4,-2,3), \alpha_4=(3,-6,0,-6)$ 的一个极大无关组，并给出其余向量用该极大无关组的表示。

解：以 $\alpha_1^{ T }, \alpha_2^{ T }, \alpha_3^{ T }, \alpha_4^{ T }$ 为列向量作矩阵 $A$ ，并对 $A$ 施以初等行变换，把 $A$ 化为阶梯形矩阵 $B$ ：

$$
A=\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 2 & -2 & 3 \\
-2 & -4 & 4 & -6 \\
2 & 8 & -2 & 0 \\
-1 & 0 & 3 & -6
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 2 & -2 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 2 & -6 \\
0 & 2 & 1 & -3
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 2 & -2 & 3 \\
0 & 2 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]=B .
$$

显然 $r(A)=r(B)=2$ ，又 $r\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)=2<4\left(4\right.$ 为向量组 $\alpha_1$ ， $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 中向量的个数），故 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关．

由阶梯形矩阵 $B$ 明显看出： 2 阶子式 $\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right|=2 \neq 0$ ，故矩阵 $B$ 的前两列为矩阵 $B$ 的列向量组的一个极大无关组，所以，$\alpha_1, \alpha_2$ 为向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的一个极大无关组．

继续对 $B$ 施以初等行变换，化为行简化阶梯形矩阵：

B=\left[\begin{array}{rrrr}
\\
1 & 2 & -2 & 3 \\
0 & 2 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}
\\
1 & 0 & -3 & 6 \\
0 & 2 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{cccc}
\beta_1 & \beta_2 & \beta_3 & \beta_4 \\
1 & 0 & -3 & 6 \\

0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\

0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]=C .
$$

易见 $\beta_1, \beta_2$ 是列向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 的一个极大无关组，且有

$$
\beta_3=-3 \beta_1+\frac{1}{2} \beta_2, \beta_4=6 \beta_1-\frac{3}{2} \beta_2 .
$$

由上面定理知，$\alpha_1, \alpha_2$ 是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的一个极大无关组，而且同样有

$$
\alpha_3=-3 \alpha_1+\frac{1}{2} \alpha_2, \alpha_4=6 \alpha_1-\frac{3}{2} \alpha_2
$$

**如果你看表示的系数，恰是列向量的值，这不是偶然的，下一个例题会进行解释**

**总结：**
注 极大无关组不惟一，如 $\alpha_1, \alpha_3 ; \alpha_1, \alpha_4 ; \alpha_2, \alpha_3 ; \alpha_2, \alpha_4$ ； $\alpha_3, \alpha_4$ 均为极大无关组。

如何求向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 的极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出，上面矩阵 $A 、 B 、 C$ 的变换告诉我们一般的结论与方法：
（1）以 $\alpha_1, \alpha_2,

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