最后更新: 2025-08-26 11:33 查看: 11 次反馈同步训练

考点：如何确定一个数λ是矩阵 A的特征值

## 如何确定一个数 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值
特征值和特征向量是一对相互依存的概念。如果 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，那么至少存在一个非零列向量 $\alpha$ 使得 $A \alpha=\lambda \alpha$ ，此时 $\alpha$ 称为属于特征值 $\lambda$ 的特征向量；不过属于特征值 $\lambda$ 的特征向量不是唯一的；如果 $\beta$ 是 $A$ 的一个特征向量，那么存在由 $A$ 和 $\beta$ 唯一确定的数 $\mu$ 使得 $A \beta=\mu \beta$ ，即属于每一个特征向量 $\beta$ 的特征值 $\mu$ 是唯一的。

对于一个确定的矩阵 $A$ ，其特征值通常都是由特征方程 $|\lambda I - A |=0$ 来计算．可是当 $A$ 的阶数较大，比如 $n \geqslant 5$ 时，由于一元 $n$ 次方程没有一般的求根公式，所以在实际应用中，通常需要借助于数值计算方法求近似解。但是作为理论上的判断或对一些特殊情况的处理。了解以下等价命题是十分必要的。在很多时候，这些命题能帮助我们间接地找到矩阵的某些特征值。
### 等价命题
$\lambda$ 是 $A$ 的特征值 $\Leftrightarrow$ 存在非零向量 $\alpha$ 使得 $A \alpha=\lambda \alpha$
$\Leftrightarrow$ 齐次线性方程组 $(\lambda I - A ) x = 0$ 有非零解
$\Leftrightarrow|\lambda I - A |=0$
$\Leftrightarrow \lambda I - A$ 不可逆
$\Leftrightarrow \operatorname{rank}(\lambda I - A )<n$（ $n$ 为 $A$ 的阶数）．

另一方面， 相似矩阵必有相同的特征值．也可以帮助我们确定某些特征值。

`例`已知矩阵 $2 A+3 I$ 不可逆．求矩阵 $B=2 A^2+A-I$ 的一个特征值。

解 由于 $2 A +3 I$ 不可逆，则

$$
|2 A +3 I |=0 \Rightarrow\left|-\frac{3}{2} I - A \right|=0
$$

所以 $\lambda=-\frac{3}{2}$ 是 $A$ 的一个特征值， $B$ 的一个特征值为 $2\left(-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{3}{2}-1=2$ ．

`例`设 3 阶矩阵 $A$ 的各行元之和均为 3．且线性方程组 $A x =0$ 有两个线性无关的解向量，求 $A$ 的特征值。

解 由 $A$ 的各行元之和均为 3 ，知

$$
A\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
3 \\
3 \\
3
\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right)
$$

故 $\lambda=3$ 是 $A$ 的一个特征值．
又 $A x = 0$ 有两个线性无关的解向量，故 $\operatorname{rank}( A )=1$ ，从而 $\lambda=0$ 是 $A$ 的一个二重特征值。

`例` 已知 3 阶矩阵 $A$ 与 3 维列向量 $x$ ，使得向量组 $x , A x , A ^2 x$ 线性无关，且满足 $A ^3 x =3 A x -2 A ^2 x$ ，求 $A$ 的特征值．

解 作矩阵 $P =\left( x , A x , A ^2 x \right)$ ，因为向量组 $x , A x , A ^2 x$ 线性无关，所以 $P$可逆，且有

$$
\begin{aligned}
A P & =\left( A x , A ^2 x , A ^3 x \right)=\left( A x , A ^2 x , 3 A x -2 A ^2 x \right) \\
& =\left( x , A x , A ^2 x \right)\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 3 \\
0 & 1 & -2
\end{array}\right)= P B
\end{aligned}
$$

其中 $B=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2\end{array}\right)$ ．
则 $A=P B P^{-1}$ ，即 $A$ 与 $B$ 相似，从而有相同的特征值．易求得

$$
|\lambda I - B |=\lambda(\lambda-1)(\lambda+3)
$$

所以 $A$ 的特征值为 $0,1,-3$ ．

Q **设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times m$ 矩阵，则 $A B$ 与 $B A$是否有

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