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实对称矩阵的对角化

## 知识总结

有时候我们学习的顺序和最终使用的目的正好相反。如果站在全局看本章内容，本章的核心是：**对角形矩阵$\Lambda$**，即：任给一个矩阵$A$，研究它是否和$\Lambda$相似。整个流程图大致如下：

**核心工具：** 我们首先给出了特征值和特征向量，利用他可以找到矩阵$A$的相似矩阵。然后在研究矩阵$A$和对角形相似的条件。

![图片](/uploads/2025-08/6f4549.jpg)
 
 
此时，矩阵分为两大类：一般矩阵$A$和对称矩阵$A$

**第一类：** 一般矩阵A要和对角形$\Lambda$相似分为两种情况
(i) 含有n个不同的特征值，此时A一定相似对角形矩阵$\Lambda$ 相似, 具体见 [特征值的求法](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1869)

(ii) 特征方程含有重根，此时A即可能相似对角形也可能不相似对角形，因此需要验证他的n个特征向量是否线性相关。 怎么验证呢？
假设在解特征方程 $|A- \lambda E|=0$ 时，得到的 重根 $\lambda$ 是 $r$ 次的，
我们就要判断秩 $r(|A- \lambda E|)$ 是否和 $n-r$ 相等，如果相等他就能和对角形相似，如果不等就不能和对角形相似。具体可以参考 [思维导图版本2](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3180) 的总结

**第二类：** 实对称矩阵A一定和对角形相似，此时考察的是2个重点：
(i) 让你求可逆矩阵P
这里只要求出他的特征值和对应的特征向量，然后把特征向量按照顺序排好，就可以得到他的可逆矩阵$P$, 详见 [矩阵与对角形相似](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2598)
(ii)让你求正交矩阵Q.
关于如何求$Q$，他是在上一步求出$P$的基础上，进行施密特正交化即可，具体如何正交化会在 下一节 向量内积与正交化里的 [正交变换](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=494) 里介绍。**本节仅是仅是介绍正交矩阵Q的基本概念，不会深入涉及**。

## 实对称矩阵的对角化

> 由前面介绍知道，一个 $n$ 阶矩阵能否对角化取决于它是否有 $n$ 个线性无关的特征向量。那么什么样的矩阵一定有 $n$ 个线性无关的特征向量呢？下面我们就来证明任一 $n$ 阶实对称矩阵一定存在 $n$ 个线性无关的特征向量，从而可以对角化．也就是说，存在可逆阵 $P$ ，使得 $P ^{-1} A P = \Lambda$ 为对角阵。进一步，我们还可证明存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q ^{-1} A Q = Q^{ T } A Q= \Lambda$ 为对角阵。为此，我们先引人如下概念。

实对称矩阵具有非常优良的性质，他是线性代数里最为重要的矩阵。不是每个矩阵都可以对角化，但是实对称矩阵一定可以对角化。

下面我们不加证明引入一个重要结论

**定理** 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则必存在正交矩阵 $Q$ ，使得

$$
Q ^{-1} A Q = \Lambda =\left[\begin{array}{llll}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n
\end{array}\right]
$$

为对角阵，其中 $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$ 为 $A$ 的特征值．且$Q^{T}=Q^{-1}$

> **上面这个结论告诉我们，任给一个实对称矩阵$A$，一定可以找到一个矩阵$Q$，这个矩阵$Q$是对称的，且 $Q^{-1} A Q=Q^{\top} A Q=\Lambda$**
 
如果你比较上面最后一个等式，即
$Q^{-1} A Q=Q^{\top} A Q=\Lambda$
就可以得到$Q^{-1}=Q^{T}$ ，**也就是我们找到的这个矩阵Q同时满足了他的转置等于他的逆**。

### 实对称矩阵的性质

**性质1** $n$阶实对称矩阵，有$n$个实数特征值，其特征向量也是实数。

**性质2**  实对称矩阵的特征向量互相正交。

**性质3** 实对称矩阵必定相似对角形。

`例`当 $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right]$  求他的特征值与特征向量。
解：容易知道他的特征值为0和5，特征向量是$p_1=(2,-1)$和$p_2=(1,2)$ 且 $p_1$ 与$p_2$ 互相垂直化,如果再坐标系里画出他的特征向量类似如下
 
 ![图片](/uploads/2025-08/aff69f.jpg)
 
一个 $2 \times 2$ 对称矩阵的特征向量有一个特殊形式：  $\quad S=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ b & c\end{array}\right]$ 有 $x _1=\left[\begin{array}{c}b \\ \lambda_1-a\end{array}\right]$ 与 $x _2=\left[\begin{array}{c}\lambda_2-c \\ b\end{array}\right]$这个在问题集里面。是 $x _1$ 与 $x _2$ 垂直：

## 实对称矩阵对角化的步骤如下
求特征值；
求特征向量；
将同一个特征值所对应的不同特征向量正交化（施密特正交化方法）；
将所有正交特征向量规范化
得到 $Q$ 与 $D$ 。

> 注意：本文涉及到后面的[施密特正交化](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=493)，建议学完后 [正交矩阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=494) 后，再来看本文

`例` 设 $A=\left(\begin{array}{lll}4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 4\end{array}\right)$ ，求正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^{-1} A Q=D$ 。

第一步，是求特征值，

$$
\begin{aligned}
|A-\lambda I| & =\left|\begin{array}{ccc}
4-\lambda & 2 & 2 \\
2 & 4-\lambda & 2 \\
2 & 2 & 4-\lambda
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
8-\lambda & 8-\lambda & 8-\lambda \\
2 & 4-\lambda & 2 \\
2 & 2 & 4-\lambda
\end{array}\right| \\
& =(8-\lambda)\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
2 & 4-\lambda & 2 \\
2 & 2 & 4-\lambda
\end{array}\right|=(8-\lambda)\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
0 & 2-\lambda & 2 \\
0 & 0 & 2-\lambda
\end{array}\right| \\
& =(8-\lambda)(2-\lambda)^2=0
\end{aligned}
$$

我们得到特征值 $\lambda_1=8, \lambda_{2,3}=2$ 。

当 $\lambda=8$ 时，

$$
\begin{aligned}
A-\lambda I & =\

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