最后更新: 2025-10-12 16:16 查看: 221 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

实对称矩阵的对角化 λ

> 本章内容总体概述：假设有一头猪，我们要给他拍照，首先会选一个视角，这个视角就是矩阵（你也可以把这个矩阵理解为一个“参照物”），我们可以从不同视角给猪拍照，这些不同的视角和最初的视角是彼此相似的，如何找到不同的视角利用的就是特征值与特征向量。在这些视角里，会有一个比较好的视角（你可以理解为给猪正面拍照），这就是矩阵的对角化。 我们发现不是每个矩阵都可以对角化的，但是实对称矩阵一定可以对角化，所以，我们提出了正交相似（矩阵是一个微维表格，如果是对称矩阵，则他相当于对$x,y$轴进行了同比例缩放，自然图像不会坍塌）。如果这个对称矩阵的行列式的值为1或者-1，这个矩阵就是正交矩阵。使用正交矩阵产生的变换就是正交变换。当使用正交变换时，图像不变（长度、角度都不变），进一步可以简单的理解为正交变换就是坐标轴的旋转。

> 从上面的介绍，可以看到，在对矩阵的变换里，我们是层层推进的 （1）先找相似矩阵 （2）在找相似对角化 （3）再找对称矩阵的对角化 （4）再找行列式的值为1或者-1的对称矩阵的对角化，即正交矩阵。 而普通矩阵转为正交矩阵使用的是 施密特正交化工具。

## 知识总结

有时候我们学习的顺序和最终使用的目的正好相反。如果站在全局看本章内容，本章的核心是：**对角形矩阵$\Lambda$**，即：任给一个矩阵$A$，研究它是否和$\Lambda$相似。整个流程图大致如下：

**核心工具：** 我们首先给出了特征值和特征向量，利用他可以找到矩阵$A$的相似矩阵。然后在研究矩阵$A$和对角形相似的条件。

![图片](/uploads/2025-08/6f4549.jpg)
 
 
此时，矩阵分为两大类：一般矩阵$A$和对称矩阵$A$

**第一类：** 一般矩阵A要和对角形$\Lambda$相似分为两种情况
(i) 含有n个不同的特征值，此时A一定相似对角形矩阵$\Lambda$ 相似, 具体见 [特征值的求法](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1869)

(ii) 特征方程含有重根，此时A即可能相似对角形也可能不相似对角形，因此需要验证他的n个特征向量是否线性相关。 怎么验证呢？
假设在解特征方程 $|A- \lambda E|=0$ 时，得到的 重根 $\lambda$ 是 $r$ 次的，
我们就要判断秩 $r(|A- \lambda E|)$ 是否和 $n-r$ 相等，如果相等他就能和对角形相似，如果不等就不能和对角形相似。具体可以参考 [思维导图版本2](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3180) 的总结

**第二类：** 实对称矩阵A一定和对角形相似，此时考察的是2个重点：
(i) 让你求可逆矩阵P
这里只要求出他的特征值和对应的特征向量，然后把特征向量按照顺序排好，就可以得到他的可逆矩阵$P$, 详见 [矩阵与对角形相似](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2598)
(ii)让你求正交矩阵Q.
关于如何求$Q$，他是在上一步求出$P$的基础上，进行施密特正交化即可，具体如何正交化会在 下一节 向量内积与正交化里的 [正交变换](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=494) 里介绍。**本节仅是仅是介绍正交矩阵Q的基本概念，不会深入涉及**。

## 实对称矩阵的对角化

> 由前面介绍知道，一个 $n$ 阶矩阵能否对角化取决于它是否有 $n$ 个线性无关的特征向量。那么什么样的矩阵一定有 $n$ 个线性无关的特征向量呢？下面我们就来证明任一 $n$ 阶实对称矩阵一定存在 $n$ 个线性无关的特征向量，从而可以对角化．也就是说，存在可逆阵 $P$ ，使得 $P ^{-1} A P = \Lambda$ 为对角阵。进一步，我们还可证明存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q ^{-1} A Q = Q^{ T } A Q= \Lambda$ 为对角阵。为此，我们先引人如下概念。

实对称矩阵具有非常优良的性质，他是线性代数里最为重要的矩阵。不是每个矩阵都可以对角化，但是实对称矩阵一定可以对角化。

下面我们不加证明引入一个重要结论

**定理** 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则必存在正交矩阵 $Q$ ，使得

$$
Q ^{-1} A Q = \Lambda =\left[\begin{array}{llll}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n
\end{array}\right]
$$

为对角阵，其中 $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$ 为 $A$ 的特征值．且$Q^{T}=Q^{-1}$

> **上面这个结论告诉我们，任给一个实对称矩阵$A$，一定可以找到一个矩阵$Q$，这个矩阵$Q$是对称的，且 $Q^{-1} A Q=Q^{\top} A Q=\Lambda$**
 
如果你比较上面最后一个等式，即
$Q^{-1} A Q=Q^{\top} A Q=\Lambda$
就可以得到$Q^{-1}=Q^{T}$ ，**也就是我们找到的这个矩阵Q同时满足了他的转置等于他的逆**。

## 实对称矩阵的性质

**性质1** $n$阶实对称矩阵，有$n$个实数特征值，其特征向量也

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