最后更新: 2025-08-25 21:07 查看: 405 次反馈同步训练

对称矩阵的特征值与特征向量

> 请跟上我们的步骤：本章内容大致架构如下：给出一个矩阵$A$，这个矩阵A是任意的，然后介绍如何找到他的特征值与特征向量，然后给出矩阵相似的定义（$A \sim B$），有了特征值与特征向量可以很容易找到矩阵的相似矩阵。
进一步的，在相似里我们希望矩阵A可以和对角形相似，即$A \sim \Lambda$，然后我们研究后发现，不是每个矩阵都可以和对角形相似，我们得到的一个结论：如果$A$有不同特征值，肯定可以和对角形相似。但是这个条件还是太强不容易发现。我们进行研究，最后发现如果矩阵A是对称矩阵，则他一定可以和对角形相似，因此，我们专门把对称矩阵拿过来研究。

## 对称矩阵
首先，让我们回顾一下什么是对称矩阵。我希望你已经熟悉了这个概念。对称矩阵在线性代数处理中，占据非常重要的位置。 先看定义：

$$
A^T=A
$$

一个矩阵如果转置后是他本身，那么这个矩阵就是**对称矩阵**。
让我们举一个简单的例子来确保你明白这个概念。

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 3 & -1 \\
3 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & 4
\end{array}\right]
$$

转置后，也可以理解为通过对角线进行旋转得到。

$$
A^T=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 3 & -1 \\
3 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & 4
\end{array}\right]
$$

可以看到转置后的矩阵 $A ^T$ 和原矩阵 $A$ 相同。
那么问题来了，为什么我们现在要重温这个基本概念呢？
问题在于, 如果矩阵是对称的, 那么在我们进行特征值分解时, 它就具有一个非常有用的性质。在说明它如何有用之前，让我们先了解矩阵对称时的基本特性。

如果 $A$ 是对称矩阵，那么:1. 矩阵 $A$ 特征值为实数2. 矩阵 $A$ 的特征向量是正交向量。

我们会在下一节会专门介绍实对称矩阵的对角化。总之，本节你需要记住三个核心结论即可：

> **（1）对称矩阵的特征值都是实数。
（2）对称矩阵的特征向量互相垂直。
（3） 实对称矩阵必定相似对角形。**

为什么矩阵对称时会有这样的特性？让我们来看看证明。

### 证明1：对称矩阵特征值为实数

$$
A x=\lambda x
$$

基本概念与定理：
1. 如果矩阵 $A$ 的元素是实数（即 $A$ 是实矩阵）, 则特征方程的系数也都是实数。这时，复特征值成对出现，且互为复共轴。例如：如果 $\lambda_1=a+b i$ 是特征值，则 $\lambda_2=a-b i$ 也是特征值
2. 向量的复共轭定义 $v_i=a+b i \quad \Rightarrow \quad \overline{v_i}=a-b i$

证明：
① 特征方程左右都乘 $\bar{x}^T$ 得:

$$
\bar{x}^T A x=\bar{x}^T \lambda x
$$

② 特征方程左右都取共轭得：

$$
\begin{aligned}
& \overline{A x}=\bar{\lambda} x \\
& A \bar{x}=\bar{\lambda} \bar{x} \quad A \text { 为实矩阵 }
\end{aligned}
$$

$$
\begin{gathered}
\bar{x}^T A^T=\bar{x}^T \bar{\lambda} \quad \text { 转置 } \\
\bar{x}^T A=\bar{x}^T \bar{\lambda} \quad A \text { 对称 } \\
\bar{x}^T A x=\bar{x}^T \bar{\lambda} x \quad \text { 乘 } x
\end{gathered}
$$

综合①和②：

$$
\lambda=\bar{\lambda}
$$

所以， $\lambda$ 为实数
因此, 这个证明表明, 特征值必须是实数, 才能满足等号的要求。

第 2 个性质的证明实际上要麻烦一些。下面是第二条性质的证明。

### 证明2：对称矩阵 $A$ 的特征向量是正交向量

基本概念与定理：

内积：
1. $v$ 和 $w$ 的内积：

$$
\langle v, w\rangle=v^T w
$$

2. 如果 $A$ 是对称矩阵

$$
\begin{aligned}
\langle A v, w\rangle & =(A v)^T w \\
& =v^T A^T w \\
& =v^T A w \\
& =\langle v,

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