最后更新: 2025-08-24 20:50 查看: 132 次反馈同步训练

代数重根与几何重根

## 代数重根与几何重根

在[特征子空间的几何意义](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1870)里，介绍了代数重根与几何重根。

这里有2个结论：如果代数重根不同时，特征向量一定是线性相关的，如果代数重根有相同的时，特征向量可能线性相关也可能线性无关。上面已经进行了解释。这里从分式方程进行再理解一下。

我们看一个初中数学分式题

`例`$\frac{x-2}{x+2}-\frac{16}{x^2-4}=\frac{x+2}{x-2}$
解： $\frac{x-2}{x+2}-\frac{16}{x^2-4}=\frac{x+2}{x-2}$
去分母得: $(x-2)^2-16=(x+2)^2$,
整理得: $8 x=-16$,
解得: $x=-2$
经检验: $x=-2$ 是原方程的增根,
$\therefore$ 原方程无解.

我们在解分式方程时，都是把分式销掉，转换为代数式进行计算，这个过程，扩大的解的范围，因此，再解出来时，需要再次验证一下。

同样的，我们在求解特征向量时，使用的是几何重根，但是却是按照代数重根进行计算，这扩大的解的范围，导致求出来的向量，有时候线性相关，有时候线性无关。

**代数重数**：就是特征多项式的根的重数，即
$\operatorname{det}\left(\lambda I _n- A \right)=\left(\lambda-\lambda_1\right)^{m_1}\left(\lambda-\lambda_2\right)^{m_2} \cdots\left(\lambda-\lambda_s\right)^{m_s}$ 的解。

**几何重数**，是特征矩阵 $(|\lambda E-A|)$ 零空间的维数 
 
 代数重根和几何重根的关系可以概括如下

> **如果矩阵A的$n$个特征值都不相同，那么A必然存在$n$个线性无关的特征向量（A能够被对角化）, 如果存在相同的特征值，可能存在也可能不存在$n$个线性无关特质向量。因为n个特征值不一定含n个特征向量。即如果存在n个线性无关的特征向量，则能够对角化；如果不存在n个线性无关的特征向量，则不能对角化。(几何重数小于代数重数)**

下面通过两个例题说明，因为在前面已经介绍了求特征值的方法，因此，这里给出简略解答。

`例`求矩阵
$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}
4 & 6 & 0 \\
-3 & -5 & 0 \\
-3 & -6 & 1
\end{array}\right]
$$
的特征值及特征向量, 并说明其几何意义。
解 由矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征方程:

$$
|A-\lambda E|=\left[\begin{array}{ccc}
4-\lambda & 6 & 0 \\
-3 & -5-\lambda & 0 \\
-3 & -6 & 1-\lambda
\end{array}\right]=(\lambda+2)(\lambda-1)^2=0
$$

得到特征值 $\lambda_1=-2, \lambda_2=\lambda_3=1$ 。
然后分别求出他的基础解系[基础解系求法见此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=486)

①把 $\lambda_1=-2$ 代入式 $(\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 得到齐次线性方程组:

$$
\left\{\begin{array}{l}
6 x_1+6 x_2=0 \\
3 x_1+3 x_2=0 \\
3 x_1+6 x_2-3 x_3=0
\end{array}\right.
$$

它的基础解系为 $\xi=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$。所以对应于 $\lambda_1=-2, \boldsymbol{A}$ 的全部特征向量为

$$
x=c \xi=c\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
1 
\end{array}\right) \quad(c \neq 0, c \in R )
$$

如图 5-44 所示, 过向量 $\xi$ 作直线 $L$, 则以原点 $o$ 为起点, 以 $L$ 上除 $o$ 点以外的任意点为终点的向量 $c \xi$ 都是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的关于特征值-2 的特征向量。它们全体构成 $\boldsymbol{A}$ 的关于特征值-2的特征向量子空间。此向量空间中的任意向量 $\boldsymbol{x}$ 受矩阵 $\boldsymbol{A}$ 作用后成为向量 $-2 \boldsymbol{x}$, 它仍然位于直线 $L$上, 只是方向与 $\boldsymbol{x}$ 相反, 大小为 $\boldsymbol{x}$ 的 2 倍。

![图片](/uploads/2025-08/9e5e23.jpg)

②把$\lambda_2=\lambda_3=1$ 代入式 $(A-\lambda E) x=0$ 得到齐次线性方程组:

$$
\left\{\begin{array}{l}
3 x_1+6 x_2=0 \\
3 x_1+6 x_2=0 \\
3 x_1+6 x_2=0
\end{array}\right.
$$

它的基础解系为 $\xi_1=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \xi_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$。

所以对应于特征值 $\lambda_2=\lambda_3=1$,

$\boldsymbol{A}$ 的全部特征向量为

$$
\boldsymbol{x}=c_1 \xi_1+c_2 \xi_2=c_1\left(\begin{array}{c}
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