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线性代数
第五篇 特征值与矩阵相似
约当Jordan标准型
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更新:
2025-03-11 21:34
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约当Jordan标准型
## 约当Jordan标准型 我们知道，并不是每一个 $n$ 阶矩阵 $A$ 都可以对角化．但是，我们可以证明，$A$ 一定能与另一种结构较简单的约当形矩阵相似。由于相关理论证明较复杂，我们只介绍与约当标准形有关的结论。 ## Jordan标准型 形如 $$ J_i=\left[\begin{array}{ccccc} \lambda_i & 1 & & & \\ & \lambda_i & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & 1 \\ & & & & \lambda_i \end{array}\right] $$ 的方阵，称为特征值 $\lambda_i$ 的约当块．而称主对角线上为若干个约当块的分块矩阵 $$ J=\left[\begin{array}{llll} J_1 & & & \\ & J_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & J_s \end{array}\right] $$ （其中 $J_i(i=1,2, \cdots, s)$ 为约当块） 为约当形矩阵，或约当标准形． 例如， $$ \left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{array}\right] $$ 都是约当块．显然，约当形矩阵是一种特殊的上三角形矩阵，其特征值就是卉主对角线上的全部元素。由于一个元素可以看作一个一阶约当块，所以，对角矩阵实际上就是主对角线上全为一阶约当块的约当
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