最后更新: 2025-08-29 07:13 查看: 1185 次反馈同步训练

n阶常系数齐次线性微分方程的解法

## $n$ 阶常系数齐次线性微分方程的解法

> 提示：n解微分方程基本上思路和2解一样，在理解本节内容前，建议已经阅读了 [形如 y''+py'+qy=0 二阶常系数微分方程的解法](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=345)

$n$ 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为 
$$
y^{(n)}+p_1 y^{(n-1)}+p_2 y^{(n-2)}+\cdots+p_{n-1} y^{\prime}+p_n y=0 ...(1) 
$$

我们猜测他的一个解为$y=e^{rx}$，把他带入(1) 可以得到其**特征方程**为

$$
r^n+p_1 r^{n-1}+p_2 r^{n-2}+\cdots+p_{n-1} r+p_n=0
$$

根据特征方程的根, 可按下表给出各个解的项。

![图片](/uploads/2025-08/2e45e9.jpg)

进而直接写出其对应的微分方程的解，如下表

![图片](/uploads/2025-08/98073f.jpg)
  
 
注 $n$ 次代数方程有 $n$ 个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各含一个任意常数. 这样就得到 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程的通解为 $y=C_1 y_1+C_2 y_2+\cdots+C_n y_n$.
其中 $y_1, y_2, \cdots, y_n$ 是 $n$ 个线性无关的解.

`例`（1）求方程 $y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-y=0$ 的通解；
（2）求方程 $y^{(4)}+2 y^{\prime \prime}+y=0$ 的通解；
（3）求方程 $y^{(4)}-2 y^{\prime \prime \prime}+5 y^{\prime \prime}=0$ 的通解．
解（1）特征方程 $\lambda^3-3 \lambda^2+3 \lambda-1=0$ 有一个三重根 $\lambda=1$ ，于是方程有三个线性无关的解 $e ^x, x e ^x, x^2 e ^x$ ，故通解为

$$
y=C_1 e^x+C_2 x e^x+C_3 x^2 e^x=\left(C_1+C_2 x+C_3 x^2\right) e^x .
$$

（2）特征方程 $\lambda^4+2 \lambda^2+1=0$ 有一对二重复根 $\pm i$ ，于是该方程有四个线性无关的解 $\cos x, \sin x, x \cos x, x \sin x$ ，故通解为

$$
y=C_1 \cos x+C_2 \sin x+C_3 x \cos x+C_4 x \sin x .
$$

（3）特征方程 $\lambda^4-2 \lambda^3+5 \lambda^2=0$ 有特征根 $\lambda_{1,2}=0, \lambda_{3,4}=1 \pm 2 i$ ，于是方程有四个线性无关的解 $1, x, e ^x \cos 2 x, e ^x \sin 2 x$ ，故通解为

$$
y=C_1+C_2 x+e^x\left(C_3 \cos 2 x+C_4 \sin 2 x\right) .
$$

`例` 求方程 $y^{(4)}-2 y^{\prime \prime \prime}+5 y^{\prime \prime}=0$ 的通解.
解 特征方

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【常微分方程】一阶二维齐次线性微分方程组的通解【常微分方程】一阶二维线性微分方程组模型

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