最后更新: 2025-08-09 21:57 查看: 1367 次反馈同步训练

空间直线方程及参数方程

## 对称式方程及参数方程
由立体几何知道，过空间一点做平行于已知直线的直线是唯一的. 因此， 如果知道直线上一点及与直线平行的某一向量，那么该直线的位置也就完全确 定.现在根据这个几何条件来建立直线的方程.

如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为该直线的**方向向量**. 直线上的任何一个向量都平行于方向向量. 显然，一条直线的方向向量有无穷多个，它们之间互相平行.

由于过空间一点可作且只能作一条直线，平行于已知向量，故给定直线上的
一点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 及一个方向向量 $s=(m, n, p)$ ，直线的位置就完全确定了 (见下图) . 如果 $M(x, y, z)$ 为直线 $l$ 上任意一点，则 $\bar{M}_0 M / / \boldsymbol{s}$ ，根据平面向量定理，对应坐标应该成比例，即有

$$
\boxed{
\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} ...(2) 
}
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230207e54e.png)

> 注  ①当 $m, n$ 和 $p$ 中有一个为零，例如 $m=0$ ，而 $n$ 与 $p \neq 0$ 时，这个方程组应理解为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x-x_0=0 \\
\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}
\end{array}\right.
$$

> 当 $m, n$ 和 $p$ 中有两个为零，例如 $m=n=0$ ，而 $p \neq 0$ 时，这个方程组应理解为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x-x_0=0, \\
y-y_0=0 .
\end{array}\right.
$$

## 参数方程

> 我们想象画家在图纸上画一条曲线 $\Gamma$ 的过程．在任意特定时刻 $t$ ，有一个点，譬如说点 $f=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}$ 被画出来，在时间段 $a \leqslant t \leqslant b$ 上画出的所有点的轨迹构成了这条曲线．显然，画家的这种行为可以看作是生成了一个以 $t$ 为自变量的函数 $\Gamma$ 。 曲线 $\Gamma$ 的位置可以使用$(x,y)$坐标表示，而当 $t$ 在 $a$ 和 $b$ 之间变动时 $x,y$ 也跟着变动。这样，我们就可以把 $\Gamma=f(x,y)$ 的函数用 $x=x(t), y=y(t)$ 来表示

关于参数方程的意义，请点击 [空间曲线的切线和法平面](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=393)

(2) 式是含有末知数 $x, y, z$ 的方程组. 从上面推导可知，直线 $l$ 上任意一点 $M(x, y, z)$ 的坐标满足(2)式. 反之，如果点 $M(x, y, z)$ 不在直线上，那么向量 $M_0 M$ 与 $s$ 就不平行，于是点 $M(x, y, z)$ 的坐标就不会满足 (2) 式. 由此可知此式即为

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