最后更新: 2025-11-15 08:24 查看: 1468 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

空间直线的参数方程★★★★★

## 对称式方程及参数方程
由立体几何知道，过空间一点做平行于已知直线的直线是唯一的. 因此， 如果知道直线上一点及与直线平行的某一向量，那么该直线的位置也就完全确 定.现在根据这个几何条件来建立直线的方程.

如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为该直线的**方向向量**. 直线上的任何一个向量都平行于方向向量. 显然，一条直线的方向向量有无穷多个，它们之间互相平行.

由于过空间一点可作且只能作一条直线，平行于已知向量，故给定直线上的
一点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 及一个方向向量 $s=(m, n, p)$ ，直线的位置就完全确定了 (见下图) . 如果 $M(x, y, z)$ 为直线 $l$ 上任意一点，则 $\bar{M}_0 M / / \boldsymbol{s}$ ，

根据平面向量定理，**两直线平行对应坐标应该成比例**，即有

$$
\boxed{
\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} ...(2) 
}
$$

上述的写法只是一个形式上的写法，当分母中的 $m,n,p$ 均不为零时，它代表着联立方程
$$
\left\{\begin{array}{l}
m\left(y-y_0\right)-n\left(x-x_0\right)=0 \\
m\left(z-z_0\right)-p\left(x-x_0\right)=0
\end{array}\right.
$$

而当 $m=n=0$ 时，我们约定它代表联立方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
x-x_0=0, \\
y-y_0=0 .
\end{array}\right.
$$

其他情况作类似的相应约定。
这样的约定显然是合理的。 当 $m=n=0$ 时，意味着直线的方向平行于 $(0,0, p)$ ，也即平行于 $z$ 轴，因此，过点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 的且平行于 $(m, n, p)$ 的直线应该是平面 $x-x_0=0$ 及 $y-y_0=0$ 之交线。

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230207e54e.png)

(2) 式是含有末知数 $x, y, z$ 的方程组. 从上面推导可知，直线 $l$ 上任意一点 $M(x, y, z)$ 的坐标满足(2)式. 反之，如果点 $M(x, y, z)$ 不在直线上，那么向量 $M_0 M$ 与 $s$ 就不平行，于是点 $M(x, y, z)$ 的坐标就不会满足 (2) 式. 由此可知此式即为直线的**对称式方程**，也称**点向式方程**.

这里 $s=(m, n, p)$ 的三个坐标就称为**方向数**，而 $s$ 的方向余弦就叫做该直线的**方向余弦**.

注意：
  
**①当 $m, n$ 和 $p$ 中有一个为零，例如 $m=0$ ，而 $n$ 与 $p \neq 0$ 时，这个方程组应理解为**
$$
\left\{\begin{array}{l}
x-x_0=0 \\
\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}
\end{array}\right.
$$

**当 $m, n$ 和 $p$ 中有两个为零，例如 $m=n=0$ ，而 $p \neq 0$ 时，这个方程组应理解为**
$$
\left\{\begin{array}{l}
x-x_0=0, \\
y-y_0=0 .
\end{array}\right.
$$

## 空间曲线参数方程的物理意义

> 我们想象画家在图纸上画一条曲线 $\Gamma$ 的过程．在任意特定时刻 $t$ ，有一个点，譬如说点 $f=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}$ 被画出来，在时间段 $a \leqslant t \leqslant b$ 上画出的所有点的轨迹构成了这条曲线．显然，画家的这种行为可以看作是生成了一个以 $t$ 为自变量的函数 $\Gamma$ 。 曲线 $\Gamma$ 的位置可以使用$(x,y)$坐标表示，而当 $t$ 在 $a$ 和 $b$ 之间变动时 $x,y$ 也跟着变动。这样，我们就可以把 $\Gamma=f(x,y)$ 的函数用 $x=x(t), y=y(t)$ 来表示

关于参数方程的意义，请点击 [空间曲线的切线和法平面](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=393)

上面这个例子告诉我们，通过引入中间参数$t$ 可以把复杂的函数分解为各个分量进行独立处理。 现在度上面公式(2) 做一个物理解释。

在高中物理课的圆周运动里，**物体的速度方向就是曲线的切线方向**。考虑一个质点在空间里运动，其运动轨迹函数是曲线路径$f$, 对$f$ 分别向$x,y,z$轴求偏导，就得到速度的三个分量：$v_x=f'(x), v_y=f'(y), v_z=f'(z)$，

![图片](/uploads/2025-09/58e246.jpg)

质点从 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 经过$\Delta t$ 后运动到了   $M\left(x, y, z\right)$ ，可以把轨迹分解为$x,y,z$ 三个坐标轴上，因此相当于
$$
\boxed{
\left\{
\begin{array}{c}
x=x_0+v_x \Delta t ... ① \

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