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高等数学
第五章 向量与空间解析几何
抛物面
最后
更新:
2025-02-11 13:29
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抛物面
椭圆抛物面
## 抛物面 由方程 $\frac{x^2}{2 a}+\frac{y^2}{2 b}=z(a b>0)$ 所确定的曲面称为椭圆抛物面. 由方程的表达式可知，椭圆抛物面关于 $x O z$ 面， $y O z$ 面及 $z$ 轴都对称，当 $a>0, b>0$ 时 $z \geq 0$ ，所以它在 $x O y$ 面的上方. 当 $a<0, b<0$ 时 $z \leq 0$ ，所以它在 $x O y$ 面的下方. 此外原点 $O$ 的坐标满足方程，原点叫做椭圆抛物面的顶点. 我们用截痕法来讨论椭圆抛物面的形状: (1) 用平行于 $x O y$ 的平面 $z=h(h>0)$ 去截椭圆抛物面，交线为 $$ \left\{\begin{array}{c} \frac{x^2}{2 a h}+\frac{y^2}{2 b h}=1, \\ z=h, \end{array}\right. $$ 它是平面上的一个椭圆，当逐渐由小变大时，椭圆也逐渐由小变大. 这些椭 圆就形成了椭圆抛物面. (2) 椭圆抛物面与 $y O z$ 面及 $z O x$ 面的交线分别为 $$ \left\{\begin{array} { c } { y ^ { 2 } = 2 b z , } \\ { x = 0 , } \end
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