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二元函数的极限

## 二元函数的极限
我们先回顾一下，一元函数极限的定义.
设函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的某一个去心邻域内有定义 (即点 $a$ 可以除外)，若 $\forall \varepsilon>0 ， \exists \delta>0$ ，当 $0<|x-a|<\delta$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ，则 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$.
这里 $a$ 是数轴上的定点， $x$ 是数轴上的动点， $|x-a|$ 表示点 $x$ 与 $a$ 的距离. 而 $0<|x-a|<\delta$ 表示 $\{x \mid x \in(a-\delta, a) \cup(a, a+\delta)\}$.
类似地，可建立二元函数的极限.

## 二元函数的极限
**定义2** 设函数 $z=f(x, y)$ 的定义域为 $D ， P_0\left(x_0, y_0\right)$ 是 $x O y$ 平面内的定点 (见图 6-7). 若存在常数 $A$ ， $\forall \varepsilon>0 ， \exists \delta>0$ ，当点 $P(x, y) \in D \cap \stackrel{o}{U}\left(P_0, \delta\right)$ 时，恒有

$$
|f(P)-A|=|f(x, y)-A|<\varepsilon ，
$$

则称常数 $A$ 为函数 $f(x, y)$ 当 $(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)$ 时的极限，记作

$$
\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)=A \text { 或 } f(x, y) \rightarrow A ，(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right) \text {. }
$$

也可记作

$$
\lim _{P \rightarrow P_0} f(P)=A \text { 或 } f(P) \rightarrow A ， P \rightarrow P_0 \text {. }

![图片](/uploads/2022-12/image_202212314419129.png)

### 注意
（1）二重极限的定义也可表示为：
$\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)=A \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $0<\sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2}<\varepsilon \quad$（或当 $\left|x-x_0\right|<\delta,\left|y-y_0\right|<\delta$ ，且 $\left.(x, y) \neq\left(x_0, y_0\right)\right)$ 时，$|f(x, y)-A|<\varepsilon$ ．

> **（2）对于多元函数的极限 $\lim _{P \rightarrow P_0} f(x, y)=A$ ，由于点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的邻域是一个平面点集，点 $P(x, y)$ 趋近于点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 时，可沿邻域内的任意曲线，因此，二重极限存在的充分必要条件是：当点 $P(x, y)$ 在邻域内以任何方式趋近于 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 时，$f(x, y)$ 都以常数 $A$ 为极限．如果点 $P(x, y)$ 在邻域中以不同的方式趋近于 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 时，$f(x, y)$ 趋近于不同的常数，则可断定 $f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 处无极限存在**．

（3）一元函数的极限运算法则可平行地推广到二元函数的极限运算上来．

## 理解：多元函数极限的靠近

在计算多元函数极限时，最主要的是理解：以不同的方式靠近极限点的值是相同的。
参考下图，可以看到，你的运动半径其实是

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