最后更新: 2025-07-01 08:25 查看: 472 次反馈同步训练

函数项级数的概念

## 函数项级数的概念
在前面两节中，我们主要讨论了常数项级数，即级数的各项都是常数. 如果一个级数的各项都是定义在某个区间上的函数，则称该级 数为**函数项级数**.
在这一节里，我们将要讨论的一类特殊的函数项级数一**幂函数**，即级数的各项都是幂函数. 幂级数在某区域的收剑性问题，是指幂级数在该区域内任意一点的收敛性问题，而幂级数在 某点 $x$ 的收敛问题，实质上是常数项级数的收敛问题. 这样，我们仍可利用常数项级数的收敛性判别法来判断幂级数的收敛性.

设定义在区间 $I$ 上的函数列 $\left\{u_n(x)\right\}: u_1(x) ， u_2(x), \ldots \ldots, u_n(x), \ldots \ldots$,
各项用加号连接的形式: $u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ ，称为**函数项无穷级数**，简称函数项级数.

对于 $I$ 上的每一个值 $x_0$ ，函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n\left(x_0\right)$ 就是常数项级数. 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n\left(x_0\right)$ 收敛，则称 $x_0$ 是函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的**收敛点**，收玫点的全体组成的数集称为 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的**收敛域**，记为 $x \in I$ ；

若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n\left(x_0\right)$ 发散，则称 $x_0$ 是函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的**发散点**， 发散点的全体组成的数集称为 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的**发散域**.

对于收敛域中的每一个数 $x ， \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 成为一收敛的常数项级数， 因此有一 确定的和 $S$ ，这样在整个收敛域上，函数项级数的和是 $x$ 的函数，记作 $S(x)$ ，称 $S(x)$ 为函数项级数的和函数. 和函数的定义域就是函数项级数的收敛域.

对于 收敛域内的点 $x$ ，有 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$.
$\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的部分和为 $S_n(x)$ ，当 $x \in I$ 时，有 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n(x)=S(x)$ ， $r_n(x)=S(x)-S_n(x)$ 为 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的**余项**，且有 $\lim _{n \rightarrow \infty} r_n(x)=0$.

`例`求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\left(\frac{1}{1+x}\right)^n$ 的收敛域.
解 由比值判别法可知， $\frac{\le

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