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高等数学
第八章 无穷级数
幂级数及其收敛性
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更新:
2025-04-22 22:07
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幂级数及其收敛性
## 幂级数及其收敛性 取 $u_0(x)=a_0 ， u_n(x)=a_n\left(x-x_0\right)^n ， n=1,2, \cdots$ ，其中 $a_n(n=0,1,2, \cdots)$ 为常数. 则 $\sum_{n=0}^{\infty} u_n(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n$ 也可记成 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n$ ， 即 $$ \sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n=a_0+a_1\left(x-x_0\right)+a_2\left(x-x_0\right)^2+\cdots+a_n\left(x-x_0\right)^n+\cdots $$ 称为关于 $x-x_0$ 的帛级数. 令 $t=x-x_0$ ，并将 $t$ 仍记为 $x$ ，则有 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ ， 因此不失一 般性，我们仅讨论这个形式的幂级数. 显然，当 $x=0$ 时，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 收玫于 $a_0$. 当 $a_n=1(n=0,1,2, \cdots)$ 时，则 有 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ ，这是几何级数. 令 $x=\frac{1}{2}$ ，则幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ 转化为常数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ ，由等比级数的性质知，该级数收敛，且和为 $2 ＼mathrm{~ ； 令 ~} x=2$ ，则幂级数转 化为 $\sum_{n=0}^{\infty} 2^n$. 显然该级数发散. 一般地，当 $|x|<1$ 时收敛，且和为 $\frac{1}{1-x}$ ，当 $|x| \geq 1$ 时，级数发散. 一般地，对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ ，当给 $x$ 以确定的值，例如 $x=x_0$
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