最后更新: 2025-04-23 07:26 查看: 415 次反馈同步训练

正弦级数与余弦级数

## 正弦级数与余弦级数
若 $f(x)$ 是奇函数，则

$$
\begin{gathered}
a_0=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \mathrm{d} x=0, \\
a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x \mathrm{~d} x=0, \\
b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x, \quad n=1,2, \cdots,
\end{gathered}
$$

傅里叶级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n x$ 称为**正弦级数**，即只含有正弦项的傅里叶级数；

若 $f(x)$ 是偶函数，则

$$
\begin{gathered}
a_0=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \mathrm{d} x, \\
a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos n x \mathrm{~d} x, \\
b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=0, \quad n=1,2, \cdots,
\end{gathered}
$$

傅里叶级数 $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x$ 称为**余弦级数**，即只含有常数项及余弦项的傅里叶级数.

`例`将函数 $f(x)=x$ 在区间 $(-\pi, \pi)$ 内展开成傅里叶级数.
解 由于 $f(x)=x$ 在 $(-\pi, \pi)$ 内是奇函数，因此

$$
\begin{gathered}
a_n=0, \quad n=0,1,2, \cdots, \\
b_n=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi x \sin n x \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi}\left[-\left.\frac{x \cos n x}{n}\right|_0 ^\pi+\int_0^\pi \frac{\cos n x}{n} \mathrm{~d} x\right] \\
=\frac{2}{\pi}\left[-\frac{(-1)^n \pi}{n}+\left.\frac{\sin n x}{n^2}\right|_0 ^\pi\right]=\frac{2}{n}(-1)^{n+1}, n=1,2, \cdots,
\end{gathered}
$$

因此

$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n}(-1)^{n+1} \sin n x, \quad x \in(-\pi, \pi) .
$$

设函数仅在 $[0, \pi]$ 上有定义，且满足收敛定理的条件，我们在 $(-\pi, 0)$ 内补充 定义，得到 $(-\pi, \pi]$ 上的函数 $F(x)$ ，使它在 $(-\pi, \pi]$ 上成为奇函数或者偶函数，按 这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓或偶延拓. 事实上，可作
奇延拓: $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}f(x), & x \in[0, \pi], \\ -f(-x), & x \in(-\pi, 0),\end{array}\right.$ 偶延拓: $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}f(x), & x \in[0, \pi], \\ f(-x), & x \in(-\pi, 0),\end{array}\right.$
在函数的傅里叶级数展开式中，有时需将仅在 $[0, \pi]$ 上有定义的函数展开成 正弦级数或余弦级数，则需先将定义在 $[0, \pi]$ 上的函数在 $(-\pi, 0)$ 内作奇延拓或偶 延拓，然后在 $(-\pi, \pi]$ 外作周期延拓，得到其正弦级数或余弦级数， 最后，限制 $x \in[0, \pi]$ ，得到 $f(x)$ 的正弦级数或余弦级数.

`例`将函数 $f(x

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