最后更新: 2025-04-23 07:28 查看: 341 次反馈同步训练

一般周期函数的傅里叶级数

## 一般周期函数的傅里叶级数
定理2 设周期为 $2 l$ 的周期函数 $f(x)$ 满足收敛定理条件，则它的傅里叶级数为

$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos \frac{n \pi}{l} x+b_n \sin \frac{n \pi}{l} x\right), \quad x \in\left\{x \mid \frac{1}{2}\left[f\left(x^{-}\right)+f\left(x^{+}\right)\right]=f(x)\right\},
$$

其中

$$
\begin{gathered}
a_0=\frac{1}{l} \int_{-l}^l f(x) \mathrm{d} x, \\
a_n=\frac{1}{l} \int_{-l}^l f(x) \cos \frac{n \pi}{l} x \mathrm{~d} x, \quad n=1,2, \cdots, \\
b_n=\frac{1}{l} \int_{-l}^l f(x) \sin \frac{n \pi}{l} x \mathrm{~d} x, \quad n=1,2, \cdots .
\end{gathered}
$$

定理证明从略.
同样，若 $f(x)$ 是奇函数，则有正弦级数

$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \frac{n \pi}{l} x \text {, }
$$

其中

$$
b_n=\frac{2}{l} \int_0^l f(x) \sin \frac{n \pi}{l} x \mathrm{~d} x ， \quad n=1,2, \cdots \text {; }
$$

若 $f(x)$ 是偶函数，则有余弦级数

$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \frac{n \pi}{l} x,
$$

其中 $\quad a_0=\frac{2}{l} \int_0^l f(x) \mathrm{d} x ， a_n=\frac{2}{l} \int_0^l f(x) \cos \frac{n \pi}{l} x \mathrm{~d} x ， n=1,2, \cdots$.
若函数 $f(x)$ 仅在 $(-l, l]$ 上有定义，且满足收敛定理条件，则将函数 $f(x)$ 在 $(-l, l]$ 外作周期延拓. 即取 $F(x)$ 为 $2 l$ 为周期的周期函数，且当 $x \in(-l, l]$ 时， $F(x)=f(x)$. 将 $F(x)$ 展开成傅里叶级数，则当 $x \in(-l, l]$ 时，就得到 $f(x)$ 的傅里 叶级数.
若函数 $f(x)$ 仅在 $(0, l]$ 上有定义，且满足收敛定理条件，则将函数 $f(x)$ 在 $(-l, 0]$ 上作奇 (偶) 延拓，然后在 $(-l, l]$ 外作周期延拓，即取 $F(x)$ 为 $2 l$ 为周期 的奇 (偶) 函数，且当 $x \in(0, l]$ 时， $F(x)=f(x)$. 将 $F(x)$ 展开成正 (余) 弦级数， 则当 $x \in(0, l]$ 时，就得到 $f(x)$ 的正 (余) 弦级数.
例 7 将函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x, & -3<x \leq 0, \\ x, & 0<x \leq 3\end{array}\right.$ 展开成傅里叶级数.
解 将函数 $f(x)$ 在 $(-l, l]$ 外作周期延拓，使其满足收敛定理条件.

$$
\begin{gathered}
a_0=\frac{1}{3} \int_{-3}^3 f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{3}\left[\int_{-3}^0 2 x \mathrm{~d} x+\int_0^3 x \mathrm{~d} x\right]=\cdots=-\frac{3}{2}, \\
a_n=\frac{1}{3} \int_{-3}^3 f(x) \cos \frac{n \pi}{3} x \mathrm{~d} x \\
=\frac{1}{3}\left[\int_{-3}^0 2 x \cos \frac{n \pi}{3} x \mathrm{~d} x+\int_0^3 x \cos \frac{n \pi}{3} x \mathrm{~d} x\right]=\cdots=\frac{3}{n^2 \pi^2}\left[1-(-1)^n\right], \quad n=1,2, \cdots,
\end{gathered}
$$

$$
\begin{aligned}
b_n & =\frac{1}{3} \int_{-3}^3

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