最后更新: 2024-09-16 21:29 查看: 294 次反馈刷题

勾股定理

## 勾股定理的性质
勾股定理是平面几何中一个基本而且重要的定理。在平面直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是 a和 b，斜边长度是 c，那么可以用数学语言表达：

$a^2 +  b^2 = c^2$

![](../uploads/2022-09/ab3d20.jpg)

### 推论
如果三角形的三边$a、b、c$ 满足条件 $a^2 +  b^2 = c^2$ 
, 那 c 边所对的角是直角．

## 广义勾股定理
平行四边形两条对角线的平方和等于它的四边的平方和，或等于相邻两
边平方和的二倍．
 ![图片](/uploads/2024-04/3e8001.jpg)
已知：平行四边形$ABCD$ (图3.87).

求证：$\overline{AC}^2+\overline{BD}^2=\overline{AB}^2+\overline{BC}^2+\overline{CD}^2+\overline{DA}^2=2\left(\overline{AB}^2+\overline{BC}^2\right)$

证明：
  设$\angle B$为锐角，分别由$A$、$D$向边$\overline{BC}$及其延长线
    作垂线$AE$、$DF$.

$\because\quad \overline{AB}=\overline{CD},\quad \angle B=\angle DCF,\quad \angle AEB=\angle DFC=90^{\circ}$,

$\therefore\quad \triangle ABE\cong \triangle DCF$ (AAS)

在直角三角形$ABE$、$ACE$、$DBF$中，由勾股定理可以得到：
 $$
\begin{align}
    \overline{AB}^2&=\overline{AE}^2+\overline{BE}^2\\
    \overline{AC}^2&=\overline{AE}^2+\overline{EC}^2=\overline{AE}^2+\left(\overline{BC}-\overline{BE}\right)^2\\
    \overline{BD}^2&=\overline{BF}^2+\overline{DF}^2=\left(\overline{BC}+\overline{CF}\right)^2+\overline{DF}^2
\end{align}
$$
$(3.2)+(3.3)$得
 
$$
\begin{split}
    \overline{AC}^2+\overline{BD}^2&=\left(\overline{BC}-\overline{BE}\right)^2+\left(\overline{BC}+\overline{CF}\right)^2+2\overline{AE}^2\\
    &=2\left(\overline{BC}^2+\overline{BE}^2+\overline{AE}^2\right)\\
    &=2\left(\overline{BC}^2+\overline{AB}^2\right)\\
    &=\overline{AB}^2+\overline{BC}^2+\overline{CD}^2+\overline{DA}^2 
\end{split}
 $$
 
 
 例3.35 将长为 5 米的梯子 $\overline{A C}$ 斜靠在墙上, $\overline{B C}$ 长为 2 米, 求地面到梯子上端高 $\overline{A B}$ 之长（精确到 0.01 米）（图 3.85）。
  ![图片](/uploads/2024-09/2a400b.jpg)

解: 设 $\overline{A B}$ 的长为 $x$ (米), 由于 $\triangle A B C$ 是直角三角形, 且以 $\overline{A C}$ 为斜边; 根据勾股定理有，

$$
x^2+2^2=5^2 \quad \Rightarrow \quad x^2=25-4=21
$$

$$
\begin{array}{ll}
\because & x>0 \\
\therefore & x=\sqrt{21} \approx 4.58 \text { (米). }
\end{array}
$$

答：地面到梯子上端高 $\overline{A B}$ 之长约等于 4.58 米.

## 勾股定理逆定理
如果三角形的三边 $a 、 b 、 c$ 满足条件 $a^2+b^2=c^2$, 那 $c$ 边所对的角是直角.

证明：设 $\triangle A B C$ 的三边满足 $a^2+b^2=c^2$ (图 3.86). 另作一个直角三角形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, 使 $\angle C^{\prime}=90^{\circ}, \overline{B^{\prime} C^{\prime}}=a, \overline{A^{\prime} C^{\prime}}=b$. 根据勾股定理,

$$
{\overline{A^{\prime} B^{\prime}}}^2=a^2+b^2
$$

但

$$
{\overline{A^{\prime} B^{\prime}}}^2=c^2
$$

$$
\begin{array}{ll}
\therefore & \overline{A^{\prime} B^{\prime}}=c . \\
\therefore & \triangle A B C \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}(\mathrm{SAS}) \\
\therefore & \angle C=\angle C^{\prime}=90^{\circ}
\end{array}
$$
 ![图片](/uploads/2024-09/d8ec74.jpg)
 
 
##  广义勾股定理
平行四边形两条对角线的平方和等于它的四边的平方和, 或等于相邻两边平方和的二倍。

已知: 平行四边形 $A B C D$ (图3.87).
求证: $\overline{A C}^2+\overline{B D}^2=\overline{A B}^2+\overline{B C}^2+\overline{C D}^2+\overline{D A}^2=2\left(\overline{A B}^2+\overline{B C}^2\right)$
证明: 设 $\angle B$ 为锐角, 分别由 $A 、 D$ 向边 $\overline{B C}$ 及其延长线作垂线 $A E 、 D F$.

$$
\begin{aligned}
& \because \overline{A B}=\overline{C D}, \quad \angle B=\angle D C F, \quad \angle A E B=\angle D F C=90^{\circ}, \\
& \therefore \triangle A B E \cong \triangle D C F \text { (AAS) }
\end{aligned}
$$

在直角三角形 $A B E 、 A C E 、 D B F$ 中, 由勾股定理可以得到:

$$
\begin{aligned}
& \overline{A B}^2=\overline{A E}^2+\overline{B E}^2 \\
& \overline{A C}^2=\overline{A E}^2+\overline{E C}^2=\overline{A E}^2+(\overline{B C}-\overline{B E})^2 \\
& \overline{B D}^2=\overline{B F}^2+\overline{D F}^2=(\overline{B C}+\overline{C F})^2+\overline{D F}^2
\end{aligned}
$$

$(3.2)+(3.3)$ 得:

$$
\begin{aligned}
\overline{A C}^2+\overline{B D}^2 & =\left(\overline{B C}-\overline{B E}^2+\left(\overline{B C}+\overline{C F}^2+2 \overline{A E}^2\right.\right. \\
& =2\left(\overline{B C}^2+\overline{B E}^2+\overline{A E}^2\right) \\
& =2\left(\overline{B C}^2+{\overline{A B}^2}^2\right) \\
& =\overline{A B}^2+\overline{B C}^2+\overline{C D}^2+\overline{D A}^2
\end{aligned}
$$
 ![图片](/uploads/2024-09/51e48e.jpg)
 
 当平行四边形为矩形时 (图 3.88), 由于矩形两条对角线相等, 上面的关系式转化为:

$$
2 \overline{A C}^2=2\left(\overline{A B}^2+\overline{B C}^2\right)
$$

即

$$
\overline{A C}^2=\overline{A B}^2+\overline{B C}^2
$$
 
这恰好符合勾股定理. 因此, 一般平行四边形对角线与边的关系可看成广义勾股定理.

例 3.36 已知： $\triangle A B C$ 的三边长 $\overline{B C}=a, \overline{A C}=b, \overline{A B}=c$ (图 3.89).
求: 三角形三边上中线长 $m_a 、 m_b 、 m_c$.
解: 以 $\triangle A B C$ 的边 $\overline{A B}, \overline{A C}$ 为邻边作平行四边形 $A B D C$, 对角线 $\overline{A D} 、 \overline{B C}$相交于 $M$, 则 $\overline{A M}$ 为 $\triangle A B C$ 中 $\overline{B C}$ 边上的中线, 它为 $\overline{A D}$ 长的一半, 由广义勾股定理知:

$$
\overline{A D}^2+\overline{B C}^2=2\left(\overline{A B}^2+\overline{A C}^2\right)
$$

即

$$
\begin{gathered}
4 \overline{A M}^2+a^2=2\left(b^2+c^2\right) \\
\therefore \quad \overline{A M}^2=\frac{1}{4} \times\left[2\left(b^2+c^2\right)-a^2\right] \\
A M=\frac{1}{2} \sqrt{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}
\end{gathered}
$$

即: $m_a=\frac{1}{2} \sqrt{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}$
同理可得：

$$
m_b=\frac{1}{2} \sqrt{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}, \quad m_c=\frac{1}{2} \sqrt{2\left(a^2+b^2\right)-c^2}
$$
 ![图片](/uploads/2024-09/67ebb9.jpg)

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