日期: 2024-04-24 12:07 查看: 163 次编辑

勾股定理

## 勾股定理的性质
勾股定理是平面几何中一个基本而且重要的定理。在平面直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是 a和 b，斜边长度是 c，那么可以用数学语言表达：

$a^2 +  b^2 = c^2$

![](../uploads/2022-09/ab3d20.jpg)

### 推论
如果三角形的三边$a、b、c$ 满足条件 $a^2 +  b^2 = c^2$ 
, 那 c 边所对的角是直角．

## 广义勾股定理
平行四边形两条对角线的平方和等于它的四边的平方和，或等于相邻两
边平方和的二倍．
 ![图片](/uploads/2024-04/3e8001.jpg)
已知：平行四边形$ABCD$ (图3.87).

求证：$\overline{AC}^2+\overline{BD}^2=\overline{AB}^2+\overline{BC}^2+\overline{CD}^2+\overline{DA}^2=2\left(\overline{AB}^2+\overline{BC}^2\right)$

证明：
  设$\angle B$为锐角，分别由$A$、$D$向边$\overline{BC}$及其延长线
    作垂线$AE$、$DF$.

$\because\quad \overline{AB}=\overline{CD},\quad \angle B=\angle DCF,\quad \angle AEB=\angle DFC=90^{\circ}$,

$\therefore\quad \triangle ABE\cong \triangle DCF$ (AAS)

在直角三角形$ABE$、$ACE$、$DBF$中，由勾股定理可以得到：
 $$
\begin{align}
    \overline{AB}^2&=\overline{AE}^2+\overline{BE}^2\\
    \overline{AC}^2&=\overline{AE}^2+\overline{EC}^2=\overline{AE}^2+\left(\overline{BC}-\overline{BE}\right)^2\\
    \overline{BD}^2&=\overline{BF}^2+\overline{DF}^2=\left(\overline{BC}+\overline{CF}\right)^2+\overline{DF}^2
\end{align}
$$
$(3.2)+(3.3)$得
 
$$
\begin{split}
    \overline{AC}^2+\overline{BD}^2&=\left(\overline{BC}-\overline{BE}\right)^2+\left(\overline{BC}+\overline{CF}\right)^2+2\overline{AE}^2\\
    &=2\left(\overline{BC}^2+\overline{BE}^2+\overline{AE}^2\right)\\
    &=2\left(\overline{BC}^2+\overline{AB}^2\right)\\
    &=\overline{AB}^2+\overline{BC}^2+\overline{CD}^2+\overline{DA}^2 
\end{split}
 $$

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