最后更新: 2025-06-26 09:15 查看: 452 次反馈能力测评

直角三角形与勾股定理

## 直角三角形
有一个叫为90度的三角形为直角三角形。通常记做 $Rt \triangle ABC$
直角三角形的性质是：两个余角和为90度。
两个直角三角形全等会有一个额外定理，即 斜边和一条直角边分布相等的两个直角三角形全等，记做 HL

> **性质1：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半** .

上面性质的证明主要使用了平行四边形的性质。因为矩形是由两个直角三角形组成，且矩形对角线相等和互相平分，所以 $AC=BD=2BO$ 即

$AC=2BO$

![图片](/uploads/2025-06/bd636d.jpg)

> **性质2：直角三角形的斜边的中点, 与三个顶点的距离相等.**

`例`已知: $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, D$ 是 $\overline{A B}$ 的中点（图 3.57）.
求证： $\overline{C D}=\overline{D A}=\overline{D B}$ 。

![图片](/uploads/2025-06/c07705.jpg){WIDTH=200PX}
 
 
证明：取 $\overline{B C}$ 的中点 $E$ ，连结 $\overline{D E}$ ，
$\because D$ 是 $\overline{A B}$ 的中点, (已知)
$\therefore \overline{D E}$ 是 $\triangle A B C$ 的一条中位线.
$\therefore D E / / A C$ (三角形中位线定理).
$\because \angle A C B=90^{\circ}$ (已知),
$\therefore \angle D E B=90^{\circ}$. (两条直线平行, 则同位角相等),
$\therefore \angle D E B=\angle D E C$
又 $\because \quad \overline{D E}=\overline{D E}, \quad \overline{B E}=\overline{E C}$

$$
\begin{array}{ll}
\therefore & \triangle B D E \cong \triangle C D E(SAS) \\
\therefore & \overline{C D}=\overline{D B} . \text { 但 } \overline{D B}=\overline{D A}, \\
\therefore & \overline{C D}=\overline{D B}=\overline{D A} .
\end{array}
$$

> **性质3：在直角三角形中, $30^{\circ}$ 角的对边等于斜边的一半.**

已知: $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, \angle A=30^{\circ}$ (图 3.58)
求证: $\overline{B C}=\frac{1}{2} \overline{A B}$.

![图片](/uploads/2025-06/92f780.jpg){WIDTH=200PX}
  
证明: 取 $\overline{A B}$ 的中点 $D$. 连结 $\overline{C D}$, 则 $\overline{C D}=\overline{D A}$

$$
\begin{aligned}
& \because \quad \angle A=30^{\circ}, \\
& \therefore \quad \angle A C D=30^{\circ} \quad \text { (等腰三角形两底角相等). }
\end{aligned}
$$ 
 又 $\because \angle B=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$ (直角三角形两锐角互余), $\angle B D C=60^{\circ}$ (三角形的外角等于不相邻的两个内角的和).
$\therefore \triangle B C D$ 是正三角形 (三内角相等的三角形是正三角形).
$\therefore \quad \overline{B C}=\overline{B D}=\frac{1}{3} \overline{A B}$.

## 勾股定理
勾股定理是平面几何中一个基本而且重要的定理。在平面直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是 a和 b，斜边长度是 c，那么可以用数学语言表达：

$$
\boxed{
a^2 +  b^2 = c^2
}
$$

![](../uploads/2022-09/ab3d20.jpg)

### 证明
参考下图，正方形$ABDE$可以看作由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，$ABCD$面积为 $c ^ 2$ ，三角形 $ABC$ 面积为 $ab / 2$ ，小正方形面积为$(b-a)^2$

因为 $ABDE$面积 $S=c^2=4 * a b / 2+(b-a)^2=a^2+b^2$
整理即得： $c^2=a^2+b^2$
 ![图片](/uploads

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