最后更新: 2026-01-24 21:17 查看: 718 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

基变换与过渡矩阵★★★★★

## 为什么会有基变换与坐标变换
对于基变换，最容易理解的是“火车模型”，想象火车以 $100m/s$ 匀速向东行驶，火车里有一个水杯，$A$站在地面上，对于$A$而言，他看到水杯在以$100m/s$匀速向东运动，而对于坐在火车里的$B$而言，水杯是静止的，根据运动的相对论，对于同一个水杯，因为选择的参照物不同(也就是基不同)，会有不同的结论。 那么$A,B$对于水杯的速度描述，会有一个转换“公式”，这就是坐标变换（过渡矩阵）。

![图片](/uploads/2026-01/bdd513.jpg){width=400px}

进一步，如果地面的基准速度为$0m/s$，火车的速度为$100m/s$，地面上另一个人$C$以速度$v=30m/s$ 向东运动时， 则$v'=100-v=70m/s$ ，这意味在$A$看到火车速度为$100m/s$， 在$C$看来火车速度为$70m/s$ ,我们甚至可以写出简单的速度转换公式 $v_x'=v_x-v$ ,其中$v$是坐标系转换速度。

![图片](/uploads/2025-07/2c555b.jpg){width=550px}

其实上面**语境**有一个陷阱，当我们一开始说火车以$100m/s$ 匀速向东行驶时，隐含着我们以地面为参照物，如果我们以$B$为参照物，我们可以说，火车是静止的，地面上的$A$在以$100m/s$ **向西**运动。 这就是运动的相对性。 详见[伽利略变换与洛伦兹变换](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1087)

> **基变换可以通俗理解就是高中物理课中说的“参照物”改变了,而坐标变化就是在参照物变了的情况下，对同一运动运动变化的转化**

有了上面的思想，理解矩阵乘法就容易了。例如考虑下面的矩阵的乘法：
$$
\left[\begin{array}{lll}
3 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
8 \\
10 \\
12
\end{array}\right]
$$

前面是一个矩阵乘以向量，后面怎么只是一个向量？ 我们说过，对于一个向量，要测量他必须要有“基”，对于后者，其实隐含着笛卡尔标准基，如果我们把他写成下面的形式就容易理解了

$$
\left[\begin{array}{lll}
3 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
8 \\
10 \\
12
\end{array}\right]
$$

我在$\left[\begin{array}{lll}3 & 1 & 1 \\1 & 3 & 1 \\1 & 1 & 3\end{array}\right]$ 空间看到一个向量 $\left[\begin{array}{l}1 \\2 \\3\end{array}\right]$ 如果换一个标准视角看，这个向量就变成了 $\left[\begin{array}{c}8 \\10 \\12\end{array}\right]$ ,就像上面说的，杯子还是那个杯子，只是观察角度不同，同样，只是观察角度不同，向量还是那个向量，所以，使用了“等号”

上面还可以写成
$$
\left[\begin{array}{lll}
3 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
4 \\
5 \\
6
\end{array}\right]
$$

可以看到，后面基扩大了，有时候我们使用速度进行理解，当基的运动是1个基准单位时，向量的速度是$(8,10,12)^T$,现在基运动扩大2倍，要保持等式平衡，那么向量速度就要缩小2倍，速度变为$(4,5,6)^T$

最后，对于2个矩阵相乘，例如

$$
\left[\begin{array}{lll}
3 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 & 4\\
2 & 8\\
3  &1 
\end{array}\right]={\begin{bmatrix}
8 & 21 \\
10 & 29 \\
12 & 15
\end{bmatrix}}
$$

你想象为在前者坐标系下，看2个向量就可以了，结果自然也是2个向量。

> 在线性代数里，有2个变换：比如“以地面为参照物”和“以火车为参照物”这种是基变换。 另外一个是坐标变换，水杯在以地面为参照物有一个速度，以火车为参照物又一个速度，这2个速度也会有一个变换公式。总之，本节内容非常绕。

## 基变换的几何意义

在直角平面坐标系（实际上为单位正交基 $i , j$ ）的空间中，有两个向量 $\alpha =(2,1)$ 和 $\beta =(1,4)$ ，如图 4-28（a）所示。这两个向量线性无关（不成倍数关系），让它们构成平面空间一对新基。有另外一个向量 $\gamma=(7,7)$, 则可以把它拼凑为这两个新基的线性组合（而且组合是唯一的）:

$$
\gamma=3 \alpha+\beta
$$

那么, 向量 $\gamma$ 相对于基 $\alpha , \beta$ 的坐标向量为 $(3,1)$ 。

图 4-28 (a) 为原坐标系下的三个向量, 向量 $\gamma$ 可以通过扩张 $\alpha$ 到三倍, 并与 $\beta$ 合并而成;根据向量的**平行四边形法则**，图4-28（b）为重新划分的坐标网络(图中的倾斜线，画的不清楚，请仔细看)，可以看出，向量 $\gamma$ 在新网络下的坐标值确实是 $(3,1)$ 。

> 注意：如果使用垂直投影只有在基是正交基的情况下有效，如果基向量之间不是垂直的，此时只能使用向量的平行四边形法则

![图片](/uploads/2024-10/f944c3.jpg)

> **注意：本节内容较为抽象，如果您理解有困难，可以先阅读下一节 [基变换的几何意义](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=509)  然后再来阅读本文。**

## 线性空间里的基变换

在一个有限维线性空间 $V$ 内，基的选取并不唯一，实际上有无穷多组不同的基．特别要指出的是，如果 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 是 $V$ 的一组基，那么把它们按任意次序重排得 $\varepsilon_{i_1}, \varepsilon_{i_2}, \cdots, \varepsilon_{i_n}$ 仍为 $V$ 的一组基（因为它也是 $n$ 个线性无关向量），而且与原来的基不同（因为一个向量 $\alpha$ 在这两组基下的坐标是 $K^n$ 中两个不同向量）．由此立即需要解决一个问题：**找出 $V$ 中两组基之间的关系**．

## 过渡矩阵
设在 $n$ 维线性空间 $V$ 内给定两组基

$$
\begin{aligned}
& \varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n, \\
& \eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n,
\end{aligned}
$$

每个 $\eta_i$ 都能被 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 线性表示．设

$$
\begin{aligned}
& \eta_1=t_{11} \varepsilon_1+t_{21} \varepsilon_2+\cdots+t_{n 1} \varepsilon_n, \\
& \eta_2=t_{12} \varepsilon_1+t_{22} \varepsilon_2+\cdots+t_{n 2} \varepsilon_n, \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots   \\
& \eta_n=t_{1 n} \varepsilon_1+t_{2 n} \varepsilon_2+\cdots+t_{n n} \varepsilon_n .
\end{aligned}
$$

再度借助矩阵乘法法则，把上面的公式形式地写成

$$
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right)\left[\begin{array}{cccc}
t_{11} & t_{12} & \cdots & t_{1 n} \\
t_{21} & t_{22} & \cdots & t_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
t_{n 1} & t_{n 2} & \cdots & t_{n n}
\end{array}\right] .
$$

命

$$
T=\left[\begin{array}{cccc}
t_{11} & t_{12} & \cdots & t_{1 n} \\
t_{21} & t_{22} & \cdots & t_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
t_{n 1} & t_{n 2} & \cdots & t_{n n}
\end{array}\right] .
$$

称 $T$ 为从基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 到基 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n$ 的**过渡矩阵**。

### 基变换公式
 
在上面推导过渡矩阵的过程中，得到了一个公式

$$
\boxed{
\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) T ...(\text{基变换公式})
}
$$

上式就称为基$\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n\right) $     到 $\left(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n\right)$  基变换公式，其中 $T$ 称作从基 $\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \

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