最后更新: 2025-07-20 07:13 查看: 443 次反馈同步训练

基变换的几何意义

## 基变换的几何意义

在直角平面坐标系（实际上为单位正交基 $i , j$ ）的空间中，有两个向量 $\alpha =(2,1)$ 和 $\beta =(1,4)$ ，如图 4-28（a）所示。这两个向量线性无关（不成倍数关系），让它们构成平面空间一对新基。有另外一个向量 $\gamma=(7,7)$, 则可以把它拼凑为这两个新基的线性组合（而且组合是唯一的）:

$$
\gamma=3 \alpha+\beta
$$

那么, 向量 $\gamma$ 相对于基 $\alpha , \beta$ 的坐标向量为 $(3,1)$ 。

图 4-28 (a) 为原坐标系下的三个向量, 向量 $\gamma$ 可以通过扩张 $\alpha$ 到三倍, 并与 $\beta$ 合并而成;根据向量的**平行四边形法则**，图4-28（b）为重新划分的坐标网络(图中的倾斜线，画的不清楚，请仔细看)，可以看出，向量 $\gamma$ 在新网络下的坐标值确实是 $(3,1)$ 。

![图片](/uploads/2024-10/f944c3.jpg)

#### 基变换及坐标变换的公式

前面的讨论告诉我们，在一个 $n$ 维的线性空间中，可以取不同的 $n$ 元素无关向量组作为基。那么这个**线性空间的任意两个基之间必有关联，这个关联是什么**？还有，一个向量 $a$ 在一个确定的基下有一个确定的坐标，这个向量在不同的基下有不同的坐标。第二个问题是，**同一个向量，在任意两个基上的坐标之间有什么关联**？

**第一个问题：两个不同基的关系** 一个 $n$ 维线性空间 $V, \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 和 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 是 $V$ 的两个基。先将 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 作为空间的基, 那么向量组 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 可以由 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 线性表示为

$$
\begin{aligned}
&\begin{gathered}
\beta _1=a_{11} \alpha _1+a_{12} \alpha _2+\cdots+a_{1 n} \alpha _n=\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)\left(\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{12} \\
\vdots \\
a_{1 n}
\end{array}\right)=\left(a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1 n}\right)\left(\begin{array}{c} 
\alpha _1 \\
\alpha _2 \\
\vdots \\
\alpha _n
\end{array}\right) \\
\beta _2=a_{21} \alpha _1+a_{22} \alpha _2+\cdots+a_{2 n} \alpha _n=\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)\left(\begin{array}{c}
a_{21} \\
a_{22} \\
\vdots \\
a_{2 n}
\end{array}\right)=\left(a_{21}, a_{22}, \cdots, a_{2 n}\right)\left(\begin{array}{c} 
\alpha _1 \\
\alpha _2 \\
\vdots \\
\alpha _n
\end{array}\right) \\
\vdots \\
\beta _n=a_{n 1} \alpha _1+a_{n 2} \alpha _2+\cdots+a_{n n} \alpha _n=\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)\left(\begin{array}{c}
a_{n 1} \\
a_{n 2} \\
\vdots \\
a_{n n}
\end{array}\right)=\left(a_{n 1}, a_{n 2}, \cdots, a_{n n}\right)\left(\begin{array}{c} 
\alpha _1 \\
\alpha _2 \\
\vdots \\
\alpha _n
\end{array}\right)
\end{gathered}\\
&\text { 将以上 } n \text { 个表示式合并为 }\\
&\left( \beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n\right)=\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{n 1} \\
a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{n 2} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
a_{1 n} & a_{2 n} & \ldots & a_{n n}
\end{array}\right] ...(4.1)
\end{aligned}
$$

或者

$$
\left(\begin{array}{c} 
\beta _1 \\
\beta _2 \\
\vdots \\
\beta _n
\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n}
\end{array}\right]\left(\begin{array}{c} 
\alpha _1 \\
\alpha _2 \\
\vdots \\
\alpha _n
\end{array}\right) ...(4.2)
$$

式（4-1）或式（4-2）称为由基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 到基 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 的基变换公式，其中，矩阵 
$$
P =\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{n 1} \\
a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{n 2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{1 n} & a_{2 n} & \ldots & a_{n n}
\end{array}\right] \text { 或 } P ^{\prime}=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & a_{n n}
\end{array}\right]
$$

为A到B的**过渡矩阵**。
 
注意两点:
（1） $P$ 和 $P ^{\prime}$ 互为转置矩阵，这取决于你将基向量 $\alpha _i$ 和 $\beta _i$ 看做是行向量还是列向量;
（2）过渡矩阵 $P$ 的列向量和 $P ^{\prime}$ 的行向量分别是 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 在基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 上的坐标 (按序排列成矩阵), 换句话说, 把 $\beta _i$ 在基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 上的坐标一列列地排列而成过渡矩阵 $P$ 。

以上得到的矩阵 $P$ 和 $P ^{\prime}$ 给出了第一个问题的答案, 就是**线性空间的两个基之间是可以互相转换或变换的, 变换的矩阵称为过渡矩阵。**

**第二个问题：同一个向量，不同坐标的关系** 下面我们看看一个向量的坐标的转换是什么?
设向量 $a$ 在两个基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 和 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 下的坐标分别是 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 和 $\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, \cdots, x_n^{\prime}\right)$, 则向量 $a$ 在基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 上表示为

$$
a =\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)\left(\begin{array}{c} 
a _1 \\
a _2 \\
\vdots \\
\alpha _n
\end{array}\right)=\left( a _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right) ...(4.3)
$$

同时, 向量 $a$ 在基 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 上表示为

$$
a =\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, \cdots, x_n^{\prime}\right)\left(\begin{array}{c} 
\beta _1 \\
\beta _2 \\
\vdots \\
\beta _n
\end{array}\right)=\left( \beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n\right)\left(\begin{array}{c}
x_1^{\prime} \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n^{\prime}
\end{array}\right) ...(4.4)
$$

把前面的基变换公式（4-2）和公式（4-1）代入式（4-4）得到

$$
a =\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, \cdots, x_n^{\prime}\right) P ^{\prime}\left(\begin{array}{c} 
\alpha _1 \\
\alpha _2 \\
\vdots \\
\alpha _n
\end{array}\right)=\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right) P \left(\begin{array}{c}
x_1^{\prime} \\
x_2^{\prime} \\
\vdots \\
x_n^{\prime}
\end{array}\right) ...(4.5)
$$

因为一个向量在同一个基下的坐标是唯一的, 所以, 对比式（4-5）和式（4-3）中的坐标部分，得到

$$
\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, \cdots, x_n^{\prime}\right) P^{\prime} ...(4.6)
$$

或
$$
\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)= P \left(\begin{array}{c}
x_1^{\prime} \\
x_2^{\prime} \\
\vdots \\
x_n^{\prime}
\end{array}\right)  ...(4.7)
$$

至此，我们得到了坐标转换的公式。
假设已知坐标 $\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, \cdots, x_n^{\prime}\right)$ ，直接使用式（4-7）即得到新基下的坐标 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 。反之，如果已知 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 求 $\left(x_1^{\prime}, x_2^{\prime}, \cdots, x_n^{\prime}\right)$ ，即公式

$$
\left(\begin{array}{c}
x_1^{\prime} \\
x_2^{\prime} \\
\vdots \\
x_n^{\prime}
\end{array}\right)= P ^{-1}\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right) ...(4.8)
$$

在上述推导中，一并给出了行向量和列向量的情形。不过大多教材只处理列向量的情形，我们以后也只处理列向量, 或把向量统统默认为**列向量**。

>基过渡矩阵和向量转换矩阵请注意一个容易搞错的地方：在列向量的习惯下，由旧基矩阵计算得到新基矩阵的变换矩阵是基过渡矩阵或转换矩阵 $P$ ，公式为式（4-1），右乘旧基矩阵；而任一个向量由其旧坐标计算新坐标的公式是式（4-8），其向量坐标的转换矩阵是 $P ^{-1}$ 左乘向量，用的是基过渡矩阵的逆阵。

下面我们举例说明

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