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基变换的几何意义

## 基变换的几何意义

在直角平面坐标系（实际上为单位正交基 $i , j$ ）的空间中，有两个向量 $\alpha =(2,1)$ 和 $\beta =(1,4)$ ，如图 4-28（a）所示。这两个向量线性无关（不成倍数关系），让它们构成平面空间一对新基。有另外一个向量 $\gamma=(7,7)$, 则可以把它拼凑为这两个新基的线性组合（而且组合是唯一的）:

$$
\gamma=3 \alpha+\beta
$$

那么, 向量 $\gamma$ 相对于基 $\alpha , \beta$ 的坐标向量为 $(3,1)$ 。

图 4-28 (a) 为原坐标系下的三个向量, 向量 $\gamma$ 可以通过扩张 $\alpha$ 到三倍, 并与 $\beta$ 合并而成;根据向量的**平行四边形法则**，图4-28（b）为重新划分的坐标网络(图中的倾斜线，画的不清楚，请仔细看)，可以看出，向量 $\gamma$ 在新网络下的坐标值确实是 $(3,1)$ 。

![图片](/uploads/2024-10/f944c3.jpg)

## 基变换及坐标变换的公式

前面的讨论告诉我们，在一个 $n$ 维的线性空间中，可以取不同的 $n$ 元素无关向量组作为基。那么这个**线性空间的任意两个基之间必有关联，这个关联是什么**？还有，一个向量 $a$ 在一个确定的基下有一个确定的坐标，这个向量在不同的基下有不同的坐标。第二个问题是，**同一个向量，在任意两个基上的坐标之间有什么关联**？

**第一个问题：两个不同基的关系** 一个 $n$ 维线性空间 $V, \boldsymbol{\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n}$ 和 $\boldsymbol{\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n}$ 是 $V$ 的两个基。先将 $\boldsymbol{\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n}$ 作为空间的基, 那么向量组 $\boldsymbol{\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n}$ 可以由 $\boldsymbol{\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n}$ 线性表示为

$$
\begin{aligned}
&\begin{gathered}
\boldsymbol{\beta}_1 = a_{11} \boldsymbol{\alpha}_1 + a_{12} \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + a_{1n} \boldsymbol{\alpha}_n = \left( \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n \right) \left( \begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{12} \\
\vdots \\
a_{1n}
\end{array} \right) = \left( a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1n} \right) \left( \begin{array}{c} 
\boldsymbol{\alpha}_1 \\
\boldsymbol{\alpha}_2 \\
\vdots \\
\boldsymbol{\alpha}_n
\end{array} \right) \\
\boldsymbol{\beta}_2 = a_{21} \boldsymbol{\alpha}_1 + a_{22} \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + a_{2n} \boldsymbol{\alpha}_n = \left( \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n \right) \left( \begin{array}{c}
a_{21} \\
a_{22} \\
\vdots \\
a_{2n}
\end{array} \right) = \left( a_{21}, a_{22}, \cdots, a_{2n} \right) \left( \begin{array}{c} 
\boldsymbol{\alpha}_1 \\
\boldsymbol{\alpha}_2 \\
\vdots \\
\boldsymbol{\alpha}_n
\end{array} \right) \\
\vdots \\
\boldsymbol{\beta}_n = a_{n1} \boldsymbol{\alpha}_1 + a_{n2} \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + a_{nn} \boldsymbol{\alpha}_n = \left( \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n \right) \left( \begin{array}{c}
a_{n1} \\
a_{n2} \\
\vdots \\
a_{nn}
\end{array} \right) = \left( a_{n1}, a_{n2}, \cdots, a_{nn} \right) \left( \begin{array}{c} 
\boldsymbol{\alpha}_1 \\
\bo

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