最后更新: 2025-12-10 12:03 查看: 434 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

数学期望的定义

> 随机变量的分布函数、分布律或概率密度虽然能完整地描述随机变量的统计规律，但在实际问题中，随机变量的分布往往不容易确定，而且有些问题并不需要知道随机变量分布规律的全貌，只需要知道它的某些特征就够了。例如，考察 LED灯管的质量时，常常关注的是 LED 灯管的平均寿命，这说明随机变量的平均值是一个重要的数量特征(称作期望）。又例如，比较两台机床生产精度的高低，不仅要看它们生产的零件的平均尺寸，还必须考察每个零件尺寸与平均尺寸的偏离程度，只有偏离程度较小的才是精度高的（称作方差），这说明随机变量与其平均值偏离的程度也是一个重要的数量特征。

> 数学期望反映了在大量重复试验中，某个随机事件的“平均结果”。例如 **掷骰子** 每个点数（1-6）出现的概率均为1/6，期望值为 (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5。虽然实际掷骰子不会出现3.5，但若重复无数次，平均点数会趋近于3.5。 再如 **赌博场景** ：若轮盘赌押中一个数字的概率是1/38，奖金为35倍本金，期望收益为 (1/38)×35 + (37/38)×(-1) ≈ -0.0526美元，即长期每赌一次平均亏约5美分

### 引例
要评判一个射手的射击水平，需要知道射手平均命中环数．设射手 $A$ 在同样条件下进行射击，命中的环数 $X$ 是随机变量，其分布律如下表 所示．

![图片](/uploads/2025-12/c47992.jpg)
 
 由 $X$ 的分布律可知，若射手 $A$ 共射击 $N$ 次，在 $N$ 次射击中，大约有 $0.1 \times N$ 次击中 10 环， $0.1 \times N$ 次击中 9 环， $0.2 \times N$ 次击中 8环， $0.3 \times N$ 次击中 7 环， $0.1 \times N$ 次击中 6 环， $0.1 \times N$ 次击中 5 环， $0.1 \times N$ 次脱靶．于是在这 $N$ 次射击中，射手 $A$ 击中的环数之和为

$$
\begin{aligned}
10 & \times 0.1 N+9 \times 0.1 N+8 \times 0.2 N +  7 \times 0.3 N+6 \times 0.1 N+5 \times 0.1 N+0 \times 0.1 N .
\end{aligned}
$$

平均每次击中的环数约为

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{N} & (10 \times 0.1 N+9 \times 0.1 N+8 \times 0.2 N +7 \times 0.3 N+6 \times 0.1 N+5 \times 0.1 N+0 \times 0.1 N) \\
= & 10 \times 0.1+9 \times 0.1+8 \times 0.2 +7 \times 0.3+6 \times 0.1+5 \times 0.1+0 \times 0.1=6.7 \text { (环). }
\end{aligned}
$$

由这样一个问题的启发及频率的稳定性，得到一般随机变量取值的＂平均数＂，应是随机变量所有可能取值与其相应的概率乘积之和，也就是以概率为权数的加权平均值，这就是所谓＂数学期望＂的概念．一般地，有如下定义：

## 离散型数学期望的定义
设 $X$ 是离散型随机变量，其分布律为
$$
P\left(X=x_i\right)=p_i, \quad i=1,2, \cdots
$$

当级数 $\sum_i x_i p_i$ 绝对收敛时, 称 $\sum_i x_i p_i$ 为随机变量 $X$ 的数学期望 (或期望、均值)，记作 $E(X)$. 即：

$$
\boxed{ 
E(X)= p_1x_1 +p_2 x_2 +...+p_n x_n=\sum x_i p_i ...(离散型期望计算公式)
}
$$

`例` 设甲、乙两班各 40 名学生，概率统计成绩及得分人数如表所示，
甲、乙两班概率统计的平均成绩各是多少？

![图片](/uploads/2025-06/f3e3ef.jpg)
 
解：（1）甲班平均成绩 $=60 \times \frac{2}{40}+70 \times \frac{9}{40}+80 \times \frac{18}{40}+90 \times \frac{9}{40}+100 \times \frac{2}{40}=80$（分）

（2）同理，乙班平均成绩 $=80$（分）

注意：
1）为保证无穷级数 $\sum_i x_i p_i$ 的值不因改变求和次序而变，要求级数 $\sum_i x_i p_i$绝对收敛，$E(X)$ 才有定义。

2） 当 $X$ 服从某个分布时，也称 $E(X)$ 是 这个分布的**期望**。期望刻画随机变量取值的平均，有直观含义。

`例` 设离散型随机变量 $X$ 的分布律如下，计算 $E(X)$
 ![图片](/uploads/2025-06/eeb18c.jpg)
 
 解 $E(X)=\sum_i x_i p_i=-2 \times 0.2+1 \times 0.8=0.4$

`例`设随机变量 $X$ 的分布律分别为
（1）$P\left(X=\frac{2^i}{i}\right)=\frac{1}{2^i}, i=1,2, \cdots$
（2）$P\left(X=(-1)^i \frac{2^i}{i}\right)=\frac{1}{2^i}, i=1,2, \cdots$
（3）$P\left(X=(-1)^i \frac{2^i}{i^2}\right)=\frac{1}{2^i}, i=1,2, \cdots$
在三种情形下，试问 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 是否存在吗？为什么？

解（1）因为 $\sum_{i=1}^{\infty}\left|x_i\right| p_i=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{2^i}{i} \cdot \frac{1}{2^i}=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i}$ 发散，所以 $X$ 的数学期望不存在。
（2）因为 $\sum_{i=1}^{\infty}\left|x_i\right| p_i=\sum_{i=1}^{\infty}\left|(-1)^i \frac{2^i}{i}\right| \cdot \frac{1}{2^i}=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i}$ 发散，所以 $X$ 的数学期望不存在。
（3）因为 $\sum_{i=1}^{\infty}\left|x_i\right| p_i=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{2^i}{i^2} \cdot \frac{1}{2^i}=\s

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【高中数学】离散型随机变量数学期望

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