最后更新: 2025-06-18 19:35 查看: 385 次反馈同步训练

数学期望的定义

> 数学期望反映了在大量重复试验中，某个随机事件的“平均结果”。例如 **掷骰子** 每个点数（1-6）出现的概率均为1/6，期望值为 (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5。虽然实际掷骰子不会出现3.5，但若重复无数次，平均点数会趋近于3.5。 再如 **赌博场景** ：若轮盘赌押中一个数字的概率是1/38，奖金为35倍本金，期望收益为 (1/38)×35 + (37/38)×(-1) ≈ -0.0526美元，即长期每赌一次平均亏约5美分

## 离散型数学期望的定义
设 $X$ 是离散型随机变量，其分布律为
$$
P\left(X=x_i\right)=p_i, \quad i=1,2, \cdots
$$

当级数 $\sum_i x_i p_i$ 绝对收敛时, 称 $\sum_i x_i p_i$ 为随机变量 $X$ 的数学期望 (或期望、均值)，记作 $E(X)$.

`例` 设甲、乙两班各 40 名学生，概率统计成绩及得分人数如表所示，
甲、乙两班概率统计的平均成绩各是多少？

![图片](/uploads/2025-06/f3e3ef.jpg)
 
解：（1）甲班平均成绩 $=60 \times \frac{2}{40}+70 \times \frac{9}{40}+80 \times \frac{18}{40}+90 \times \frac{9}{40}+100 \times \frac{2}{40}=80$（分）

（2）同理，乙班平均成绩 $=80$（分）

注意：
1）为保证无穷级数 $\sum_i x_i p_i$ 的值不因改变求和次序而变，要求级数 $\sum_i x_i p_i$绝对收敛，$E(X)$ 才有定义。

2） 当 $X$ 服从某个分布时，也称 $E(X)$ 是 这个分布的**期望**。期望刻画随机变量取值的平均，有直观含义。

`例`设随机变量 $X$ 的分布律分别为
（1）$P\left(X=\frac{2^i}{i}\right)=\frac{1}{2^i}, i=1,2, \cdots$
（2）$P\left(X=(-1)^i \frac{2^i}{i}\right)=\frac{1}{2^i}, i=1,2, \cdots$
（3）$P\left(X=(-1)^i \frac{2^i}{i^2}\right)=\frac{1}{2^i}, i=1,2, \cdots$
在三种情形下，试问 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 是否存在吗？为什么？

解（1）因为 $\sum_{i=1}^{\infty}\left|x_i\right| p_i=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{2^i}{i} \cdot \frac{1}{2^i}=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i}$ 发散，所以 $X$ 的数学期望不存在。
（2）因为 $\sum_{i=1}^{\infty}\left|x_i\right| p_i=\sum_{i=1}^{\infty}\left|(-1)^i \frac{2^i}{i}\right| \cdot \frac{1}{2^i}=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i}$ 发散，所以 $X$ 的数学期望不存在。
（3）因为 $\sum_{i=1}^{\infty}\left|x_i\right| p_i=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{2^i}{i^2} \cdot \frac{1}{2^i}=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2}$ 收敛，所以 $X$ 的数学期望存在。

`例` 设离散型随机变量 $X$ 的分布律如下，计算 $E(X)$
 ![图片](/uploads/2025-06/eeb18c.jpg)
 
 解 $E(X)=\sum_i x_i p_i=-2 \times 0.2+1 \times 0.8=0.4$
 
 
## 连续型数学期望的定义
设 $X$ 是连续型随机变量，其密度函数为 $f(x)$ ，如果广义积分
$\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 绝对收玫, 则称

$$
E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x .
$$
为连续型随机变量 $X$ 的数学期望, 也称作期望或均值。

`例`设有离散型随机变量 $X$ ，在下列三种情况下计算随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$
(1) $X \sim B(1, p)$;
(2) $X \sim B(n, p)$;
(3) $X \sim P(\lambda)$.
解
(1) 因为 $X \sim B(1, p)$, 所以 $E(X)=\sum_i x_i p_i=0 \cdot q+1 \cdot p=p$
(2) 因为 $X \sim B(n, p)$, 所以 $P(X=k)=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) p^k q^{n-k}, k=0,1,2, \cdots, n$.
由期望的定义得

$$
\begin{aligned}
& E(X)=\sum_{k=0}^n k \frac{n !}{k !(n-k)

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