最后更新: 2025-12-10 12:03 查看: 574 次纠错评论(0) 课件开VIP

数学期望的定义

> 随机变量的分布函数、分布律或概率密度虽然能完整地描述随机变量的统计规律，但在实际问题中，随机变量的分布往往不容易确定，而且有些问题并不需要知道随机变量分布规律的全貌，只需要知道它的某些特征就够了。例如，考察 LED灯管的质量时，常常关注的是 LED 灯管的平均寿命，这说明随机变量的平均值是一个重要的数量特征(称作期望）。又例如，比较两台机床生产精度的高低，不仅要看它们生产的零件的平均尺寸，还必须考察每个零件尺寸与平均尺寸的偏离程度，只有偏离程度较小的才是精度高的（称作方差），这说明随机变量与其平均值偏离的程度也是一个重要的数量特征。

> 数学期望反映了在大量重复试验中，某个随机事件的“平均结果”。例如 **掷骰子** 每个点数（1-6）出现的概率均为1/6，期望值为 (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5。虽然实际掷骰子不会出现3.5，但若重复无数次，平均点数会趋近于3.5。 再如 **赌博场景** ：若轮盘赌押中一个数字的概率是1/38，奖金为35倍本金，期望收益为 (1/38)×35 + (37/38)×(-1) ≈ -0.0526美元，即长期每赌一次平均亏约5美分

### 引例
要评判一个射手的射击水平，需要知道射手平均命中环数．设射手 $A$ 在同样条件下进行射击，命中的环数 $X$ 是随机变量，其分布律如下表 所示．

![图片](/uploads/2025-12/c47992.jpg)
 
 由 $X$ 的分布律可知，若射手 $A$ 共射击 $N$ 次，在 $N$ 次射击中，大约有 $0.1 \times N$ 次击中 10 环， $0.1 \times N$ 次击中 9 环， $0.2 \times N$ 次击中 8环， $0.3 \times N$ 次击中 7 环， $0.1 \times N$ 次击中 6 环， $0.1 \times N$ 次击中 5 环， $0.1 \times N$ 次脱靶．于是在这 $N$ 次射击中，射手 $A$ 击中的环数之和为

$$
\begin{aligned}
10 & \times 0.1 N+9 \times 0.1 N+8 \times 0.2 N +  7 \times 0.3 N+6 \times 0.1 N+5 \times 0.1 N+0 \times 0.1 N .
\end{aligned}
$$

平均每次击中的环数约为

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{N} & (10 \times 0.1 N+9 \times 0.1 N+8 \times 0.2 N +7 \times 0.3 N+6 \times 0.1 N+5 \times 0.1 N+0 \times 0.1 N) \\
= & 10 \times 0.1+9 \times 0.1+8 \times 0.2 +7 \times 0.3+6 \times 0.1+5 \times 0.1+0 \times 0.1=6.7 \text { (环). }
\end{aligned}
$$

由这样一个问题的启发及频率的稳定性，得到一般随机变量取值的＂平均数＂，应是随机变量所有可能取值与其相应的概率乘积之和，也就是以概率为权数的加权平均值，这就是所谓＂数学期望＂的概念．一般地，有如下定义：

## 离散型数学期望的定义
设 $X$ 是离散型随机变量，其分布律为
$$
P\left(X=x_i\right)=p_i, \quad i=1,2, \cdots
$$

当级数 $\sum_i x_i p_i$ 绝对收敛时, 称 $\sum_i x_i p_i$ 为随机变量 $X$ 的数学期望 (或期望、均值)，记作 $E(X)$. 即：

$$
\boxed{ 
E(X)= p_1x_1 +p_2 x_2 +...+p_n x_n=\sum x_i p_i ...(离散型期望计算公式)
}
$$

`例` 设甲、乙两班各 40 名学生，概率统计成绩及得分人数如表所示，
甲、乙两班概率统计的平均成绩各是多少？

![图片](/uploads/2025-06/f3e3ef.jpg)
 
解：（1）甲班平均成绩 $=60 \times \frac{2}{40}+70 \times \frac{9}{40}+80 \times \frac{18}{40}+90 \times \frac{9}{40}+100 \times \frac{2}{40}=80$（分）

（2）同理，乙班平均成绩 $=80$（分）

注意：
1）为保证无穷级数 $\sum_i x_i p_i$ 的值不因改变求和次序而变，要求级数 $\sum_i x_i p_i$绝对收敛，$E(X)$ 才有定义。

2） 当 $X$ 服从某个分布时，也称 $E(X)$ 是 这个分布的**期望**。期望刻画随机变量取值的平均，有直观含义。

`例` 设离散型随机变量 $X$ 的分布律如下，计算 $E(X)$
 ![图片](/uploads/2025-06/eeb18c.jpg)
 
 解 $E(X)=\sum_i x_i p_i=-2 \times 0.2+1 \times 0.8=0.4$

`例`设随机变量 $X$ 的分布律分别为
（1）$P\left(X=\frac{2^i}{i}\right)=\frac{1}{2^i}, i=1,2, \cdots$
（2）$P\left(X=(-1)^i \frac{2^i}{i}\right)=\frac{1}{2^i}, i=1,2, \cdots$
（3）$P\left(X=(-1)^i \frac{2^i}{i^2}\right)=\frac{1}{2^i}, i=1,2, \cdots$
在三种情形下，试问 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 是否存在吗？为什么？

解（1）因为 $\sum_{i=1}^{\infty}\left|x_i\right| p_i=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{2^i}{i} \cdot \frac{1}{2^i}=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i}$ 发散，所以 $X$ 的数学期望不存在。
（2）因为 $\sum_{i=1}^{\infty}\left|x_i\right| p_i=\sum_{i=1}^{\infty}\left|(-1)^i \frac{2^i}{i}\right| \cdot \frac{1}{2^i}=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i}$ 发散，所以 $X$ 的数学期望不存在。
（3）因为 $\sum_{i=1}^{\infty}\left|x_i\right| p_i=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{2^i}{i^2} \cdot \frac{1}{2^i}=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2}$ 收敛，所以 $X$ 的数学期望存在。

`例`设有离散型随机变量 $X$ ，在下列三种情况下计算随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$
(1) $X \sim B(1, p)$ 二项分布;
(2) $X \sim B(n, p)$;
(3) $X \sim P(\lambda)$ 泊松分布.
解
(1) 因为 $X \sim B(1, p)$, 所以 $E(X)=\sum_i x_i p_i=0 \cdot q+1 \cdot p=p$
(2) 因为 $X \sim B(n, p)$, 所以 $P(X=k)=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) p^k q^{n-k}, k=0,1,2, \cdots, n$.
由期望的定义得

$$
\begin{aligned}
& E(X)=\sum_{k=0}^n k \frac{n !}{k !(n-k) !} p^k q^{n-k}=\sum_{k=1}^n \frac{n !}{(k-1) !(n-k) !} p^k q^{n-k} \\
& =n p \sum_{k=1}^n \frac{(n-1) !}{(k-1) !(n-k) !} p^{k-1} q^{n-1-(k-1)} \\
&
\end{aligned}
$$

(3) 因为 $X \sim P(\lambda)$, 所以 $P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k !} e^{-\lambda}, k=0,1,2, \cdots$.
由期望的定义得

$$
\begin{aligned}
& E(X)=\sum_{k=0}^n k \frac{\lambda^k}{k !} e^{-\lambda}=\lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^n \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1) !} \\
&
\end{aligned}
$$

## 连续型数学期望的定义
设 $X$ 是连续型随机变量，其密度函数为 $f(x)$ ，如果广义积分
$\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛, 则称

$$
E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x .
$$
为连续型随机变量 $X$ 的数学期望。即

$$
\boxed{

E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x ...(连续型期望计算公式)
}
$$

`例`设有连续型随机变量 $X$ ，在下列三种情况下计算随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$
(1) $X \sim U(a, b)$ 均匀分布; 
(2) $X \sim E(\lambda)$ 指数分布;
(3) $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 正态分布.

解 (1) 因为 $X \sim U(a, b)$ ，所以 $X$ 的密度函数为

$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{b-a}, & a<x<b, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

由期望的定义得

$$
E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) d x=\int_a^b \frac{x}{b-a} d x=\frac{a+b}{2}
$$

(2) 因为 $X \sim E(\lambda)$ ，所以 $X$ 的密度函数为

$$
f(x)= \begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}, & x>0, \\ 0, & x \leq 0 .\end{cases}
$$

由课微积分公式得

$$
\begin{array}{r}
E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) d x=\int_0^{+\infty} x \lambda e^{-\lambda x} d x=\lambda \cdot \frac{1 !}{\lambda^2}=\frac{1}{\lambda} 
\end{array}
$$
 
（3）因为 $X \sim N\left(\mu, \sigma_1^2\right)$ 所以 $X$ 的密度函数为

$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}
$$

由期望的定义得

$$
E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} d x \stackrel{\text { 今े } t=\frac{x-\mu}{\sigma}}{=} \int_{-\infty}^{+\infty}(\sigma t+\mu) \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{t^2}{2}} \cdot \sigma d t=\mu

上式使用了密度函数的规范性

## 例题

`例`  某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时从摇箱摇出的球的可能颜色为红、黄、蓝、白、黑 5 种，其对应的奖金额分别为 10000 元、 1000 元、 100 元、 10 元、 1 元．假定摇箱内装有很多球，其中红、黄、蓝、白、黑的比例分别为 $0.01 \%, 0.15 \%$ ， $1.34 \%, 10 \%, 88.5 \%$ ，求每次摇奖摇出的奖金额 $X$ 的数学期望。

解 每次摇奖摇出的奖金额 $X$ 是一个随机变量，易知它的分布律如表4－2所示．
 ![图片](/uploads/2025-12/256c3e.jpg)
 
 因此

$$
\begin{aligned}
E(X)= & 10000 \times 0.0001+1000 \times 0.0015 \\
& +100 \times 0.0134+10 \times 0.1+1 \times 0.885=5.725 \text { (元) } .
\end{aligned}
$$

可见，平均起来每次摇奖的奖金额不足 6 元．这个值对商店在作计划预算时是很重要的．

`例` 按规定，某车站每天 $8: 00-9: 00,9: 00-10: 00$ 点都有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立，其分布律如表4－3所示．现有一旅客 8：20 到达车站，求他候车时间的数学期望．

![图片](/uploads/2025-12/877624.jpg)
 
 解 设旅客候车时间为 $X \mathrm{~min}$ ，易知 $X$ 的分布律如表 4－4 所示。
  ![图片](/uploads/2025-12/99d3c1.jpg)
在上表中，$p_k$ 的求法如下，例如，

$$
P\{X=70\}=P(A B)=P(A) P(B)=\frac{1}{6} \times \frac{3}{6}=\frac{3}{36},
$$

其中 $A$ 为事件＂第一班车在 $8: 10$ 到站＂，$B$ 为事件＂第二班车在 $9: 30$ 到站＂，于是候车时间的数学期望为

$$
\begin{aligned}
E(X) & =10 \times \frac{3}{6}+30 \times \frac{2}{6}+50 \times \frac{1}{36}+70 \times \frac{3}{36}+90 \times \frac{2}{36} \\
& \approx 27.22(\mathrm{~min}) .
\end{aligned}
$$

`例` 一工厂生产的某种设备的寿命 $X$（以年计）服从以 $\frac{1}{4}$ 为参数的指数分布，工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备赢利 100 元，调换一台设备厂方需花费 300 元．求该工厂出售一台设备净贏利的数学期望．

解 因为 $X$ 服从以 $\frac{1}{4}$ 为参数的指数分布，所以分布函数为

$$
F(x)= \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-\frac{1}{4} x}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0 .\end{cases}
$$

一台设备在一年内损坏的概率为 $P\{X<1\}=F(1)=1-\mathrm{e}^{-\frac{1}{4}}$ ，使用一年不损坏的概率为

$$
P\{X \geqslant 1\}=1-P\{X<1\}=1-\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{1}{4}}\right)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{4}} .
$$

设 $Y$ 表示出售一台设备的净赢利，其分布律如下．
 ![图片](/uploads/2025-09/f96eca.jpg)
 
$$
\begin{aligned}
&\text { 故 }\\
&E(Y)=(-200) \times\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{1}{4}}\right)+100 \times \mathrm{e}^{-\frac{1}{4}}=300 \mathrm{e}^{-\frac{1}{4}}-200 \approx 33.64 \quad \text { (元) . }
\end{aligned}
$$

`例`  有 5 个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 $X_k(k=1,2,3,4,5)$ 服从同一指数分布，其概率密度为

$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{\theta} \mathrm{e}^{-x / \theta}, & x>0, \theta>0, \\ 0, & x \leqslant 0 .\end{cases}
$$

（1）若将这 5 个电子装置串联起来组成整机，求整机寿命 $N$ 的数学期望；
（2）若将这 5 个电子装置并联组成整机，求整机寿命 $M$ 的数学期望。
解 $X_k(k=1,2,3,4,5)$ 的分布函数为

$$
F(x)= \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases}
$$

（1）串联的情况．由于当 5 个电子装置中有一个损坏时，整机就停止工作，因此这时整机寿命为

$$
N=\min \left\{X_1, X_2, X_3, X_4, X_5\right\} .
$$

又由于 $X_1, X_2, X_3, X_4, X_5$ 是相互独立的，于是 $N=\min \left\{X_1, X_2, X_3, X_4, X_5\right\}$ 的分布函数为

$$
\begin{aligned}
F_N(x) & =P\{N \leqslant x\}=1-P\{N>x\} \\
& =1-P\left\{X_1>x, X_2>x, X_3>x, X_4>x, X_5>x\right\} \\
& =1-P\left\{X_1>x\right\} \cdot P\left\{X_2>x\right\} \cdot P\left\{X_3>x\right\} \cdot P\left\{X_4>x\right\} \cdot P\left\{X_5>x\right\} \\
& =1-\left[1-F_{X_1}(x)\right]\left[1-F_{X_2}(x)\right]\left[1-F_{X_3}(x)\right]\left[1-F_{X_4}(x)\right]\left[1-F_{X_5}(x)\right] \\
& =1-[1-F(x)]^5= \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-\frac{5 x}{\theta}}, & x>0, \\
0, & x \leqslant 0\end{cases}
\end{aligned}
$$

因此 $N$ 的概率密度为

$$
f_N(x)= \begin{cases}\frac{5}{\theta} \mathrm{e}^{-\frac{5 x}{\theta}}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases}
$$

则 $N$ 的数学期望为

$$
E(N)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f_N(x) \mathrm{d} x=\int_0^{+\infty} \frac{5 x}{\theta} \mathrm{e}^{-\frac{5 x}{\theta}} \mathrm{~d} x=\frac{\theta}{5}
$$

（2）并联的情况．由于当且仅当 5 个电子装置都损坏时，整机才停止工作，因此这时整机寿命为

$$
M=\max \left\{X_1, X_2, X_3, X_4, X_5\right\} .
$$

又由于 $X_1, X_2, X_3, X_4, X_5$ 相互独立，类似地，可得 $M$ 的分布函数为

$$
F_M(x)=[F(x)]^5= \begin{cases}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}\right)^5, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases}
$$

因此 $M$ 的概率密度为

$$
f_M(x)= \begin{cases}\frac{5}{\theta}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}\right)^4 \mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases}
$$

于是 $M$ 的数学期望为

$$
E(M)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f_M(x) \mathrm{d} x=\int_0^{+\infty} \frac{5 x}{\theta}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}\right)^4 \mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}} \mathrm{~d} x=\frac{137}{60} \theta
$$

这说明 5 个电子装置并联连接工作的平均寿命要大于串联连接工作的平均寿命．

`例`  设随机变量 $X$ 服从柯西（Cauchy）分布，其概率密度为

$$
f(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^2\right)}, \quad-\infty<x<+\infty \text {, }
$$

试证 $E(X)$ 不存在．
证 由于

$$
\int_{-\infty}^{+\infty}|x| f(x) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{+\infty}|x| \frac{1}{\pi\left(1+x^2\right)} \mathrm{d} x=+\infty \text {, }
$$

因此 $E(X)$ 不存在．

## 常见分布的期望表

下面列出了常见的概率分布表的期望表，建议记住。详细推到见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=550)

![图片](/uploads/2025-06/50c58b.jpg)
 
在附录里，附带了常见的概率分布表，详见 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1490)

其他版本
【高中数学】离散型随机变量数学期望

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