最后更新: 2025-12-09 14:31 查看: 531 次纠错评论(0) 课件开VIP

随机变量函数的数学期望

> 在实际问题中，常常需要求出随机变量函数的数学期望，例如，飞机某部位受到的压力 $F=k V^2$（其中 $V$ 是风速，$k>0$ 且为常数），如何利用 $V$ 的分布求出 $F$ 的期望？一种方法是先求出 $F$ 的分布，再根据期望定义求出 $E(F)$ ，但一般情况下 $F$ 的分布不容易得到。那么，是否可以不求 $F$ 的分布，而直接由 $V$ 的分布得到 $E(F)$ ？下面的定理可解决此类问题．

## 随机变量函数的期望公式 
**定理**：(1)设 $X$ 为离散型随机变量，其分布律为 $P\left(X=x_i\right)=p_i, i=1,2, \cdots$
如果级数 $\sum_{i=1}^{\infty} g\left(x_i\right) p_i$ 绝对收敛，则 $X$ 的一元函数 $Y=g(X)$ 的数学期望为

$$
\boxed{
E[g(X)]=\sum_{i=1}^{\infty} g\left(x_i\right) p_i
}
$$

(2)设 $X$ 为连续型随机变量，其密度函数为 $f(x)$ ， 如果广义积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) d x$ 绝对收剑， 则 $X$ 的一元函数 $Y=g(X)$ 的数学期望为

$$
\boxed{
E[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) d x 
}
$$

**上面定理的重要意义在于，当我们求 $E(Y)$ 时，不必知道 $Y$ 的分布而只需知道 $X$ 的分布就可以了**。当然，我们也可以由已知的 $X$ 的分布，先求出其函数 $g(X)$ 的分布，再根据数学期望的定义去求$E[g(X)]$

上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数情形．
例如，设 $Z$ 是随机变量 $X, Y$ 的函数 $Z=g(X, Y)(g$ 是连续函数），那么 $Z$ 也是一个随机变量．当 $(X, Y)$ 是二维离散型随机变量，其分布律为 $P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\}=p_{i j}(i, j=1,2, \cdots)$ 时，若 $\sum_i \sum_j g\left(x_i, y_j\right) p_{i j}$ 绝对收敛，则有

$$
\boxed{
E(Z)=E[g(X, Y)]=\sum_i \sum_j g\left(x_i, y_j\right) p_{i j} 
}
$$

当 $(X, Y)$ 是二维连续型随机变量，其概率密度为 $f(x, y)$ 时，若 $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) \cdot f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 绝对收敛，则有

$$
\boxed{
E(Z)=E[g(X, Y)]=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y }
$$

特别地，有

$$
\begin{aligned}
& E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x) \mathrm{d} x, \\
& E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty} y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{-\infty}^{+\infty} y f_Y(y) \mathrm{d} y .
\end{aligned}
$$

`例` 设随机变量 $X$ 的分布律如表 4－5 所示．求 $E\left(X^2\right), E(-2 X+1)$ ．

![图片](/uploads/2025-12/aa5c2b.jpg){width=400px}
 
解 由表式，得
$$
\begin{aligned}
& E\left(X^2\right)=(-1)^2 \times \frac{1}{8}+0^2 \times \frac{1}{4}+2^2 \times \frac{3}{8}+3^2 \times \frac{1}{4}=\frac{31}{8} \\
& E(-2 X+1)= {[-2 \times(-1)+1] \times \frac{1}{8}+(-2 \times 0+1) \times \frac{1}{4} } \\
&+(-2 \times 2+1) \times \frac{3}{8}+(-2 \times 3+1) \times \frac{1}{4}=-\frac{7}{4} .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010319c16cd.png)
 
 
 `例` 球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间 $[a, b]$ 内，求球体积的数学期望。

解 设随机变量 $X$ 表示球的直径，$Y$ 表示球的体积，依题意，$X$ 的概率密度为

$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{b-a}, & a \leqslant x \leqslant b, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

球体积 $Y=\frac{1}{6} \pi X^3$ ， 得

$$
\begin{aligned}
E(Y) & =E\left(\frac{1}{6} \pi X^3\right)=\int_a^b \frac{1}{6} \pi x^3 \frac{1}{b-a} \mathrm{~d} x \\
& =\frac{\pi}{6(b-a)} \int_a^b x^3 \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{24}(a+b)\left(a^2+b^2\right)
\end{aligned}
$$

`例`设风速 $V$ 是一个随机变量，它服从 $(0, a)$ 上的均匀分布，而飞机某部位受到的压力 $F$ 是风速 $V$ 的函数：$F=k V^2$（常数 $k>0$ ）．求 $F$ 的数学期望．

解 因为 $V$ 服从 $(0, a)$ 上的均匀分布，则其概率密度为

$$
f(v)= \begin{cases}\frac{1}{a}, & 0<v<a, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

$$
E(F)=E\left(k V^2\right)=\int_{-\infty}^{+\infty} k v^2 f(v) \mathrm{d} v=\int_0^a k v^2 \frac{1}{a} \mathrm{~d} v=\frac{1}{3} k a^2
$$

`例`  设国际市场每年对我国某种出口商品的需求量 $X$（单位： t ）服从区间 ［2000，4000］上的均匀分布．若售出这种商品 1 t ，可挣得外汇 3 万元，但如果销售不出而国积于仓库，则每吨需保管费 1 万元，问应预备多少吨这种商品，才能使国家的收益最大？

解 设预备这种商品 $y \mathrm{t}(2000 \leqslant y \leqslant 4000)$ ，则收益（万元）为

$$
g(X)= \begin{cases}3 y, & X \geqslant y, \\ 3 X-(y-X), & X<y,\end{cases}
$$

于是

$$
\begin{aligned}
E[g(X)] & =\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) \mathrm{d} x=\int_{2000}^{4000} g(x) \cdot \frac{1}{4000-2000} \mathrm{~d} x \\
& =\frac{1}{2000} \int_{2000}^y[3 x-(y-x)] \mathrm{d} x+\frac{1}{2000} \int_y^{4000} 3 y \mathrm{~d} x \\
& =\frac{1}{1000}\left(-y^2+7000 y-4 \times 10^6\right)
\end{aligned}
$$

当 $y=3500 \mathrm{t}$ 时，上式达到最大值．所以预备 3500 t 此种商品能使国家的收益最大，最大收益为 8250 万元．

`例` 设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $A$ 上服从均匀分布，其中 $A$ 为 $x$ 轴，$y$ 轴及直线 $x+\frac{y}{2}=1$ 所围成的三角区域，求 $E(X), E(Y), E(X Y)$ 。

解 因为 $(X, Y)$ 在 $A$ 内服从均匀分布，所以其概率密度

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{A \text { 的面积 }}, & (x, y) \in A \\
0, & (x, y) \notin A
\end{array}= \begin{cases}1, & (x, y) \in A, \\
0, & (x, y) \notin A .\end{cases}\right.
$$

于是

$$
\begin{aligned}
& E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_A x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_0^1 x \mathrm{~d} x \int_0^{2(1-x)} \mathrm{d} y=\frac{1}{3} ; \\
& E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_A y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_0^2 y \mathrm{~d} y \int_0^{1-\frac{y}{2}} \mathrm{~d} x=\frac{2}{3} ; \\
& E(X Y)=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} x y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_0^1 x \mathrm{~d} x \int_0^{2(1-x)} y \mathrm{~d} y=2 \int_0^1 x(1-x)^2 \mathrm{~d} x=\frac{1}{6} .
\end{aligned}
$$

`例` 某工厂每天从电力公司得到的电能 $X$（单位： kW ）服从 $[10,30]$ 上的均匀分布，该工厂每天对电能的需要量 $Y$（单位： kW ）服从 $[10,20]$ 上的均匀分布，其中 $X$ 与 $Y$ 相互独立．设工厂从电力公司得到的每千瓦电能可取得 300 元利润，如工厂用电量超过电力公司所提供的数量，就要使用自备发电机提供的附加电能来补充，使用附加电能时每千瓦电能只能取得 100 元利润．问：一天中该工厂获得利润的数学期望是多少？

解 设 $Z$ 为一天中该工厂获得的利润，由题意得

$$
Z=g(X, Y)= \begin{cases}300 Y, & Y \leqslant X, \\ 300 X+100(Y-X), & Y>X,\end{cases}
$$

即

$$
g(X, Y)= \begin{cases}300 Y, & Y \leqslant X, \\ 200 X+100 Y, & Y>X .\end{cases}
$$

而 $(X, Y)$ 的联合概率密度为

$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{1}{200}, & 10 \leqslant x \leqslant 30,10 \leqslant y \leqslant 20, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$

故

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
E(Z) & =E[g(X, Y)]=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\frac{1}{200}\left[\int_{10}^{20} \mathrm{~d} y \int_{10}^y(200 x+100 y) \mathrm{d} x+\int_{10}^{20} \mathrm{~d} y \int_y^{30} 300 y \mathrm{~d} x\right] \approx 4333 \quad(\text { 元 }),
\end{aligned}\\
&\text { 即该工厂一天中获得利润的数学期望是 } 4333 \text { 元．}
\end{aligned}
$$

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