最后更新: 2025-12-09 14:31 查看: 464 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

随机变量函数的数学期望

> 在实际问题中，常常需要求出随机变量函数的数学期望，例如，飞机某部位受到的压力 $F=k V^2$（其中 $V$ 是风速，$k>0$ 且为常数），如何利用 $V$ 的分布求出 $F$ 的期望？一种方法是先求出 $F$ 的分布，再根据期望定义求出 $E(F)$ ，但一般情况下 $F$ 的分布不容易得到。那么，是否可以不求 $F$ 的分布，而直接由 $V$ 的分布得到 $E(F)$ ？下面的定理可解决此类问题．

## 随机变量函数的期望公式 
**定理**：(1)设 $X$ 为离散型随机变量，其分布律为 $P\left(X=x_i\right)=p_i, i=1,2, \cdots$
如果级数 $\sum_{i=1}^{\infty} g\left(x_i\right) p_i$ 绝对收敛，则 $X$ 的一元函数 $Y=g(X)$ 的数学期望为

$$
\boxed{
E[g(X)]=\sum_{i=1}^{\infty} g\left(x_i\right) p_i
}
$$

(2)设 $X$ 为连续型随机变量，其密度函数为 $f(x)$ ， 如果广义积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) d x$ 绝对收剑， 则 $X$ 的一元函数 $Y=g(X)$ 的数学期望为

$$
\boxed{
E[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) d x 
}
$$

**上面定理的重要意义在于，当我们求 $E(Y)$ 时，不必知道 $Y$ 的分布而只需知道 $X$ 的分布就可以了**。当然，我们也可以由已知的 $X$ 的分布，先求出其函数 $g(X)$ 的分布，再根据数学期望的定义去求$E[g(X)]$

上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数情形．
例如，设 $Z$ 是随机变量 $X, Y$ 的函数 $Z=g(X, Y)(g$ 是连续函数），那么 $Z$ 也是一个随机变量．当 $(X, Y)$ 是二维离散型随机变量，其分布律为 $P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\}=p_{i j}(i, j=1,2, \cdots)$ 时，若 $\sum_i \sum_j g\left(x_i, y_j\right) p_{i j}$ 绝对收敛，则有

$$
\boxed{
E(Z)=E[g(X, Y)]=\sum_i \sum_j g\left(x_i, y_j\right) p_{i j} 
}
$$

当 $(X, Y)$ 是二维连续型随机变量，其概率密度为 $f(x, y)$ 时，若 $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) \cdot f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 绝对收敛，则有

$$
\boxed{
E(Z)=E[g(X, Y)]=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y }
$$

特别地，有

$$
\begin{aligned}
& E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x) \mathrm{d} x, \\
& E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty} y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{-\infty}^{+\infty} y f_Y(y) \mathrm{d} y .
\end{aligned}
$$

`例` 设随机变量 $X$ 的分布律如表 4－5 所示．求 $E\left(X^2\right), E(-2 X+1)$ ．

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