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概率论与数理统计
第四篇 随机变量的数字特征
随机变量函数的数学期望
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2023-10-01 11:28
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随机变量函数的数学期望
定理1 (随机变量一元函数的期望公式) (1)设 $X$ 为离散型随机变量，其分布律为 $P\left(X=x_i\right)=p_i, i=1,2, \cdots$ 如果级数 $\sum_{i=1}^{\infty} g\left(x_i\right) p_i$ 绝对收敛，则 $X$ 的一元函数 $Y=g(X)$ 的数学期望为 $$ E[g(X)]=\sum_{i=1}^{\infty} g\left(x_i\right) p_i $$ (2)设 $X$ 为连续型随机变量，其密度函数为 $f(x)$ ， 如果广义积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) d x$ 绝对收剑， 则 $X$ 的一元函数 $Y=g(X)$ 的数学期望为 $$ \begin{gathered} E[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) d x \\ \end{gathered} $$  定理2 (随机变量二元函数的期望公式) (1)设 $(X, Y)$ 是二维离散型随机变量，其联合分布律为 $$ P\left(X=a_i, Y=b_j\right)=p_{i j} \quad i, j=1,2, \cdots $$ 如果级数 $\sum_i
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