日期: 2023-10-01 11:28 查看: 185 次编辑

随机变量函数的数学期望

定理1 (随机变量一元函数的期望公式)
(1)设 $X$ 为离散型随机变量，其分布律为 $P\left(X=x_i\right)=p_i, i=1,2, \cdots$
如果级数 $\sum_{i=1}^{\infty} g\left(x_i\right) p_i$ 绝对收敛，则 $X$ 的一元函数 $Y=g(X)$ 的数学期望为

$$
E[g(X)]=\sum_{i=1}^{\infty} g\left(x_i\right) p_i
$$

(2)设 $X$ 为连续型随机变量，其密度函数为 $f(x)$ ， 如果广义积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) d x$ 绝对收剑， 则 $X$ 的一元函数 $Y=g(X)$ 的数学期望为

$$
\begin{gathered}
E[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) d x \\
 
\end{gathered}
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010319c16cd.png)
定理2 (随机变量二元函数的期望公式)
(1)设 $(X, Y)$ 是二维离散型随机变量，其联合分布律为

$$
P\left(X=a_i, Y=b_j\right)=p_{i j} \quad i, j=1,2, \cdots
$$

如果级数 $\sum_i \sum_j g\left(x_i, y_j\right) p_{i j}$ 绝对收敛，
则 $X, Y$ 的二元函数 $g(X, Y)$ 的数学期望为

$$
E[g(X, Y)]=\sum_i \sum_j g\left(x_i, y_j\right) p_{i j}
$$

(2)设 $(X, Y)$ 是二维连续型随机变量, 其联合密度函数为 $f(x, y)$ 如果广义积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) f(x, y) d x d y$ 绝对收敛， 则 $X, Y$ 的二元函数 $g(X, Y)$ 的数学期望为

$$
E[g(X, Y)]=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) f(x, y) d x d y
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_202301035a688ae.png)

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