最后更新: 2025-12-09 14:53 查看: 377 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

数学期望的性质与常用分布的数学期望

##  数学期望的性质

1 设 $c$ 为常数，则 $E(c)=c$

2 设 $X$ 为随机变量，且 $E(X)$ 存在，$k, c$ 为常数，则 $E(k X+c)=k E(X)+c$ ；

> 性质2表明了：对随机变量进行线性变换时，期望也会以完全相同的线性方式变换

3 设 $X, Y$ 为任意两个随机变量，且 $E(X)$ 和 $E(Y)$ 存在，则 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ ；

> **性质3表明了:两个随机变量和的期望，等于它们各自期望的和。**

例如：假设 $X$ 是每天工作收入（单位：百元），$Y$ 是投资日收益（单位：百元）。  
- 平均每天工作收入 $E(X) = 5$（即 500 元）  
- 平均每天投资收入 $E(Y) = 2$（即 200 元）  
那么平均每天**总收入** $E(X+Y) = 5 + 2 = 7$（即 700 元）。

这个公式**不需要 $X$ 与 $Y$ 独立**

4 设 $X, Y$ 为**相互独立**的随机变量，且 $E(X)$ 和 $E(Y)$ 存在，则 $E(X Y)=E(X) E(Y)$ ．

> **性质4表明了：两个独立随机变量的乘积的期望，等于它们各自期望的乘积。**

假设 X 和 Y 独立，意味着知道 X 的取值不会影响 Y 的分布。  
对它们的乘积 XY 求平均值（数学期望），相当于 X 的平均值与 Y 的平均值相乘。

举例：
• 设 X 是抛一枚公平硬币的收益：正面得 1 元，反面得 0 元，则 $E(X) = 0.5$。
• 设 Y 是抛另一枚公平硬币的收益，规则相同，则 $E(Y) = 0.5$，并且两枚硬币独立。

• 那么两枚硬币收益的乘积 XY 的可能取值：

若两枚都正面（概率 0.25），乘积 = 1×1 = 1；  
  一枚正面一枚反面（概率 0.5），乘积 = 0；  
  两枚反面（概率 0.25），乘积 = 0。  
  计算 $E(XY) = 0.25×1 + 0×0.75 = 0.25$。
• 而 $E(X)E(Y) = 0.5×0.5 = 0.25$，两者相等。

注意事项

• 独立性是必要条件。如果 X 与 Y 不独立，通常 $E(XY) \ne E(X)E(Y)$，除非特殊情况（如不相关且期望可分离的特殊结构）。

• 这个性质在计算方差、协方差时很有用。例如，若 X,Y 独立，则：

$$
D(X+Y) = D(X) + D(Y)
$$

它的证明中就会用到 $E(XY)=E(X)E(Y)$ 来得到 $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$。
  
  
证明：(1)~(3)略，下面是性质（4）的连续性证明。
 若 $X$ 和 $Y$ 相互独立，此时

$$
f(x, y)=f_X(x) f_Y(y),
$$

故

$$
\begin{aligned}
E(X Y) & =\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} x y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} x y f_X(x) f_Y(y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x) \mathrm{d} x \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} y f_Y(y) \mathrm{d} y \\
& =E(X) E(Y)
\end{aligned}
$$

`例` 已知随机变量 $X \sim N\left(5,10^2\right)$ ，求 $Y=3 X+5$ 的数学期望 $E(Y)$ ．
解 由于 $X$ 服从正态分布 $N\left(5,10^2\right)$ ，则 $E(X)=5$ 。由数学期望的性质得

$$
E(Y)=E(3 X+5)=3 E(X)+5=20
$$

`例` 设一电路中电流 $I(\mathrm{~A})$ 与电阻 $R(\Omega)$ 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

$$
f_I(x)=\left\{\begin{array}{ll}
2 x, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array} \quad f_R(y)= \begin{cases}\frac{y^2}{9}, & 0 \leqslant y \leqslant 3, \\
0, & \text { 其他. }\end{cases}\right.
$$

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