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概率论与数理统计
第四篇 随机变量的数字特征
数学期望的性质
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2025-06-18 19:33
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数学期望的性质
## 数学期望的性质 01 设 $c$ 为常数，则 $E(c)=c$ 02 设 $X$ 为随机变量，且 $E(X)$ 存在，$k, c$ 为常数，则 $E(k X+c)=k E(X)+c$ ； 03 设 $X, Y$ 为任意两个随机变量，且 $E(X)$ 和 $E(Y)$ 存在，则 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ ； 04 设 $X, Y$ 为相互独立的随机变量，且 $E(X)$ 和 $E(Y)$ 存在，则 $E(X Y)=E(X) E(Y)$ ． 证明：略。 `例` 某公司生产的机器其无故障工作时间 $X$ (单位: 万小时)的密度函数为 $$ f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{2}{x^2}, x \geq 2, \\ 0, \text { 其他. } \end{array}\right. $$ 公司每售出一台机器可获利1600元，若机器售出后使用2.2万小时之内出故障，则 应予以更换，这时每台亏损1200元；若在2.2到3万小时之间出故障，则予以维修，由 公司负担维修费 400 元；在使用3万小时后出故障，则用户自己负责。求该公司售出每 台机器的平均获利。 解 $Y$ 表示每台机器的获利（单位: 百元)，则 $$ Y=\left\{\begin{array}{cc} 16-12, & 2 \leq X<2.2 \\ 16-4, & 2.2 \leq
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