最后更新: 2025-12-10 14:23 查看: 399 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

方差与标准差

> 数学期望体现了随机变量取值的平均水平，它是随机变量的重要数字特征．但仅仅知道数学期望是不够的，还需要知道随机变量取值的波动程度，即随机变量所取的值与它的数学期望的偏离程度．例如，有一批电子管，其平均寿命 $E(X)=10000 \mathrm{~h}$ ，但仅由这一指标还不能判断这批电子管质量的好坏，还需考察电子管寿命 $X$ 与 $E(X)$ 的偏离程度，若偏离程度较小，则电子管质量比较稳定。因此，研究随机变量与其平均值的偏离程度是十分重要的。那么用什么量去表示这种偏离程度呢？显然，可用随机变量 $|X-E(X)|$ 的平均值 $E[|X-E(X)|]$ 来表示，但为了运算方便，通常用 $E\left\{[X-E(X)]^2\right\}$ 来表示 $X$ 与 $E(X)$ 的偏离程度．

> 通俗来说，它描述了一组数据**偏离平均值的程度**。 想象两个班级考试平均分都是70分：甲班：大部分学生成绩在65-75分之间 → 方差小。乙班：一半学生考50分，另一半考90分 → 方差大。

## 方差的引入
先从例子说起．例如，有一批灯泡，知其平均寿命是 $E(X)=1000$（小时）．仅由这一指标我们还不能判定这批灯泡的质量好坏。事实上，有可能其中绝大部分灯泡的寿命都在 $950 \sim 1050$ 小时；也有可能其中约有一半是高质量的，它们的寿命大约有 1300 小时，另一半却是质量很差的，其寿命大约只有 700 小时。为要评定这批灯泡质量的好坏，还需进一步考察灯泡寿命 $X$ 与其均值 $E(X)=$ 1000 的偏离程度．若偏离程度较小，表示质量比较稳定．从这个意义上来说，我们认为质量较好。前面也曾提到在检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，还要注意纤维长度与平均长度的偏离程度．由此可见，研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的．那么，用怎样的量去度量这个偏离程度呢？容易看到

$$
E\{|X-E(X)|\}
$$

能度量随机变量与其均值 $E(X)$ 的偏离程度．但由于上式带有绝对值，运算不方便，为运算方便起见，通常用量

$$
E\left\{[X-E(X)]^2\right\}
$$

来度量随机变量 $X$ 与其均值 $E(X)$ 的偏离程度．

## 方差的定义
**定义** 设 $X$ 是一个随机变量，若 $E\left\{[X-E(X)]^2\right\}$ 存在，则称 $E\{[X- \left.E(X)]^2\right\}$ 为 $X$ 的方差，记为 $D(X)$ 或 $\operatorname{Var}(X)$ ，即

$$
D(X)=\operatorname{Var}(X)=E\left\{[X-E(X)]^2\right\} .
$$

在应用上还引入量 $\sqrt{D(X)}$ ，记为 $\sigma(X)$ ，称为**标准差**或**均方差**．

> 按定义，随机变量 $X$ 的方差表达了 $X$ 的取值与其数学期望的偏离程度．若 $D(X)$ 较小意味着 $X$ 的取值比较集中在 $E(X)$ 的附近，反之，若 $D(X)$ 较大则表示 $X$ 的取值较分散。因此，$D(X)$ 是刻画 $X$ 取值分散程度的一个量，它是衡量 $X$取值分散程度的一个尺度．

### 离散型方差公式
由定义知，方差实际上就是随机变量 $X$ 的函数 $g(X)=(X-E(X))^2$ 的数学期望．于是对于离散型随机变量，有下面定义
当 $X$ 为离散型随机变量，其概率函数为$P\left(X=x_i\right)=p_i, \quad i=1,2, \cdots$, 如果级数 $\sum_i\left[x_i-E(X)\right]^2 p_i$ 收敛，则 $X$ 的方差为

$$
D(X)=\sum_i\left[x_i-E(X)\right]^2 p_i
$$

### 连续型
当 $X$ 为连续型随机变量，其概率密度为 $f(x)$ ，如果广义积分

$$
\int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2 f(x) d x
$$

收敛，则 $X$ 的方差为

$$
D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2 f(x) d x .
$$

## 方差计算公式
在实际计算方差时，我们更多的是使用下列公式，这样更简便，

$$
\boxed{
D(X)   =E\left(X^2\right)-[E(X)]^2 
}
$$

证明：
$$
\begin{aligned}
D(X) & =E[X-E(X)]^2 \\
& =E\left\{X^2-2 X E(X)+[E(X)]^2\right\} \\
& =E\left(X^2\right)-2 E[X E(X)]+E[E(X)]^2 \\
& =E\left(X^2\right)-2 E(X) E(X)+[E(X)]^2 \\
& =E\left(X^2\right)-[E(X)]^2
\end{aligned}
$$

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