最后更新: 2025-06-18 19:45 查看: 354 次反馈同步训练

方差与标准差

> 通俗来说，它描述了一组数据**偏离平均值的程度**。 想象两个班级考试平均分都是70分：甲班：大部分学生成绩在65-75分之间 → 方差小。乙班：一半学生考50分，另一半考90分 → 方差大。

## 方差的定义

设 $X$ 是一个随机变量，如果 $E\left[(X-E(X))^2\right]$ 存在，则称

$$
D(X) = E\left[(X-E(X))^2\right]
$$

为随机变量 $X$ 的**方差**。

称方差的算术平方根 $\sigma_X =\sqrt{D(X)}$ 为随机变量的**标准差**。

## 离散型
当 $X$ 为离散型随机变量，其概率函数为 $P\left(X=x_i\right)=p_i, \quad i=1,2, \cdots$, 如果级数 $\sum_i\left[x_i-E(X)\right]^2 p_i$ 收敛，则 $X$ 的方差为 $D(X)=\sum_i\left[x_i-E(X)\right]^2 p_i$;

## 连续型
当 $X$ 为连续型随机变量，其概率密度为 $f(x)$ ，如果广义积分

$$
\int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2 f(x) d x
$$

收敛，则 $X$ 的方差为

$$
D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2 f(x) d x .
$$

在实际计算方差时，我们更多的是使用下列公式，这样更简便，

$$
\boxed{
D(X)   =E\left(X^2\right)-[E(X)]^2 
}
$$

证明：
$$
\begin{aligned}
D(X) & =E[X-E(X)]^2 \\
& =E\left\{X^2-2 X E(X)+[E(X)]^2\right\} \\
& =E\left(X^2\right)-2 E[X E(X)]+E[E(X)]^2 \\
& =E\left(X^2\right)-2 E(X) E(X)+[E(X)]^2 \\
& =E\left(X^2\right)-[E(X)]^2
\end{aligned}
$$

`例`  设有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行检验，结果如下：
 ![图片](/uploads/2025-06/c35367.jpg)
 
 其中 $X 、 Y$ 分别表示甲、乙两种棉花的纤维的长度（单位： mm ），求 $D(X)$ 与 $D(Y)$ ，并评定它们的质量。

解 由于

$$
\begin{gathered}
E(X)=28 \times 0.1+29 \times 0.15+30 \times 0.5+31 \times 0.15+32 \times 0.1=30 \\
E(Y)=28 \times 0.13+29 \times 0.17+30 \times 0.4+31 \times 0.17+32 \times 0.13=30
\end{gathered}
$$

故得

$$
\begin{aligned}
D(X) & =(28-30)^2 \times 0.1+(29-30)^2 \times 0.15+(30-30)^2 \times 0.5+(31-30)^2 \times 0.15+(32-30)^2 \times 0.1 \\
& =4 \times 0.1+1 \times 0.15+0 \times 0.5+1 \times 0.15+4 \times 0.1=1.1, \\
D(Y) & =(28-30)^2 \times 0.13+(29-30)^2 \times 0.17+(30-30)^2 \times 0.4+(31-30)^2 \times 0.17+(32-30)^2 \times 0.13 \\
& =4 \times 0.13+1 \times 0.17+0 \times 0.4+1 \times 0.17+4 \times 0.13=1.38 .
\end{aligned}
$$

因 $D(X)<D(Y)$ ，所以甲种棉花纤维长度的方差小些，说明其纤维长度变化要小些，也就是要均匀些，故甲种棉花质量较好。

`例` 设随机变量 $X$ 的概率密度为

$$
f(X)=\left\{\begin{array}{ll}
1+x, & -1 \leqslant x<0 \\
1-x, & 0 \leqslant x<1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array},\right.
$$

求 $D(X)$ ．

解

$$
\begin{gathered}
E(X)=\int_{-1}^0 x(1+x) d x+\int_0^1 x(1-x) d x=0 \\
E\left(X^2\right)=\int_{-1}^0 x^2(1+x) d x+\int_0^1 x^2(1-x) d x=1 / 6 \\
D(X)=E\left(X^2\right)-[E(X)]^2=1 / 6
\end{gathered}
$$

`例` 求 均匀分布：$X \sim U(a, b)$ 方差

解： $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\

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