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概率论与数理统计
第四篇 随机变量的数字特征
方差的性质
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2023-10-01 11:28
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方差的性质
定理1 方差具有下列性质， 1 $D(X)=0$ 的充分必要条件是 $P(X=c)=1$, 即 $X$ 服从参数为 $\mathcal{C}$ 的退化分布，其 中 $c=E(X)$ 。特别地，若 $c$ 为常数，则 $D(c)=0$ ； 2 设 $X$ 为随机变量， $k, c$ 为常数，则 $D(k X+c)=k^2 D(X)$ ； 3 设 $X, Y$ 为任意两个随机变量，则 $$ D(X \pm Y)=D(X)+D(Y) \pm 2 E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\} $$ 4 设 $X, Y$ 为相互独立的随机变量，则 $D(X \pm Y)=D(X)+D(Y)$    例4 已知 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X \sim N(1,2), Y \sim N(5,9), Z=2 X-Y+3$ ，求 $f(\mathrm{z})$ 由已知及正态分布的可加性定理3.9得 $Z$ 服从正态分布，又由数学期望和方 差的性质知， $$ \begin{aligned} & E(Z)=2 E(X)-E(Y)+2=2 \times 1-5+2=-1 \\ & D(Z)=4 D(X)+D(Y)=4 \times 2+9=17 \end{aligned} $$ 故 $\quad Z \sim N(-1,17), f(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sqrt{17}} e^{-\frac{(z+1)^2}{2 \times 17}}=\frac{1}{\sqrt{34 \pi}} e^{-\frac{(z+1)^2}{34}}$
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