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概率论与数理统计
第四篇 随机变量的数字特征
方差的性质
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2025-06-18 19:46
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方差的性质
## 方差具有下列性质， 1 $D(X)=0$ 的充分必要条件是 $P(X=c)=1$, 即 $X$ 服从参数为 $C$ 的退化分布，其 中 $c=E(X)$ 。特别地，若 $c$ 为常数，则 $D(c)=0$ ； 2 设 $X$ 为随机变量， $k, c$ 为常数，则 $D(k X+c)=k^2 D(X)$ ； 3 设 $X, Y$ 为任意两个随机变量，则 $$ D(X \pm Y)=D(X)+D(Y) \pm 2 E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\} $$ 4 设 $X, Y$ 为相互独立的随机变量，则 $D(X \pm Y)=D(X)+D(Y)$ `例` 设随机变量 $X \sim B(n, p)$ 。计算 $X$ 的方差 $D(X)$ 。 解 因为 $X \sim B(n, p)$ ，所以 $X=\sum_{i=1}^n U_i$ ，其中 $U_i$ 相互独立同分布，且 $U_i \sim B(1, p), i=1,2, \cdots, n$ 。因为， $$ \begin{aligned} & E\left(U_i^2\right)=0^2 \cdot q+1^2 \cdot p=p \\ & D\left(U_i\right)=E\left(U_i^2\right)-\left[E\left(U_i\right)\right]^2=p
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