最后更新: 2025-12-11 10:52 查看: 651 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

方差的性质

## 方差具有下列性质

**性质1**  设$c$为常数，则$D(X)=0$

方差表示数据的偏差波动，如果是常数，就是说数据没有偏差，自然方差就是零。

延伸：$X$ 以概率 1 等于它的期望 $c$，因此方差为 0 时，$c$ 是 $X$ 的期望值。

**性质2** 设 $X$ 为随机变量， $k, c$ 为常数，则 $D(k X+c)=k^2 D(X)$ ；

解释：常数平移 $c$ 不影响方差，因为方差衡量的是随机变量围绕其均值的离散程度，整体平移不改变离散程度。  
比例因子 $k$ 会使随机变量的取值拉伸 $k$ 倍，离散程度（标准差）变为原来的 $|k|$ 倍，而方差是标准差的平方，所以变为 $k^2$ 倍。  
方差会放大偏差，比如一个杆子平均值为5，测量值为2，计算偏差为 |2-5|=3, 则方差为 $3^2=9$， 方差会放大偏差，更容易监控数据的浮动。

**性质3** 设 $X, Y$ 为任意两个随机变量，则

$$
D(X \pm Y)=D(X)+D(Y) \pm 2 E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}
$$

**性质4** 设 $X, Y$ 为**相互独立**的随机变量，则

$$
\boxed{
D(X \pm Y)=D(X)+D(Y)
}
$$

证明：
$$
\begin{aligned}
 \quad D(X \pm Y)= & E[(X \pm Y)-E(X \pm Y)]^2 \\
= & E[(X-E(X)) \pm(Y-E(Y))]^2 \\
= & E[X-E(X)]^2 \pm 2 E[(X-E(X))(Y \\
& -E(Y))]+E[Y-E(Y)]^2 \\
= & D(X)+D(Y) \\
& \pm 2 E[(X-E(X))(Y-E(Y))] .
\end{aligned}
$$

当 $X$ 与 $Y$ 相互独立时，$X-E(X)$ 与 $Y-E(Y)$ 也相互独立，由数学期望的性质，有

$$
E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E[X-E(X)] \cdot E[Y-E(Y)]=0 .
$$

因此有

$$
D(X \pm Y)=D(X)+D(Y) .
$$

性质4可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况．

### 理解性质4

> **性质4表明：当两个随机变量的波动独立时(没有线性关联)，它们和或差的波动程度等于各自波动程度的平方和再相加，即方差具有可加性**。

## 一个简单的例子  
### **1. 变量定义**  
设随机变量 $ X $ 和 $ Y $ **相互独立**，并且有：

$$
P(X = -1) = P(X = 1) = 0.5,
$$
$$
P(Y = -2) = P(Y = 2) = 0.5.
$$

显然  
$$
E[X] = 0,\quad E[Y] = 0.
$$

---

### **2. 计算方差**
$$
E[X^2] = (-1)^2 \times 0.5 + (1)^2 \times 0.5 = 1,
$$
$$
D(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 1 - 0 = 1.
$$

$$
E[Y^2] = (-2)^2 \times 0.5 + (2)^2 \times 0.5 = 4,
$$
$$
D(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = 4 - 0 = 4.
$$

### **3. 验证 $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$**  
由于独立，$\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$。

设 $Z = X + Y$，我们先求 $Z$ 的分布：  
- $X = -1$ 时，$Z = -1 + (-2) = -3$，概率 0.25  
- $X = -1$ 时，$Z = -1 + 2 = 1$，概率 0.25  
- $X = 1$ 时，$Z = 1 + (-2) = -1$，概率 0.25  
- $X = 1$ 时，$Z = 1 + 2 = 3$，概率 0.25

于是：
$$
E[Z] = (-3)\times 0.25 + 1 \times 0.25 + (-1)\times 0.25 + 3 \times 0.25 
$$
$$
= (-0.75) + 0.25 - 0.25 + 0.75 = 0.
$$

$$
E[Z^2] = 9\times 0.25 + 1\times 0.25 + 1\times 0.25 + 9\times 0.25
$$
$$
= 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 = 5.
$$

$$
D(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2 = 5 - 0 = 5.
$$

而
$$
D(X) + D(Y) = 1 + 4 = 5.
$$

相等。
 
### **4. 再验证 $D(X - Y)$**  
设 $W = X - Y$：  
- $X = -1$ 时，$W = -1 - (-2) = 1$

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