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一阶线性微分方程

## 一阶线性微分方程
一阶微分方程如果具有

$$
\boxed{
\frac{d y}{d t}=a(t) y+b(t)
}
$$

的形式，其中 $a(t), b(t)$ 是 $t$ 的连续函数，则称为**一阶线性微分方程**．若 $b(t) \equiv 0$ ，则称为**一阶齐次线性微分方程**；否则，称为**一阶非齐次线性微分方程**．

> 拿到一个微分方程，首先看次数，如果是1次的，试着把$y'$的系数化为1，后面如果是 $a(t) y+b(t)$ 就是线性微分方程

例如，

$\frac{d y}{d t}=t^2 y+\cos t$

$ \frac{d y}{d t}=e^{4 \sin t} y+20 t^2-t+4$

都是一阶线性微分方程．当 $a(t)$ 为常数时，称之为**一阶常系数线性微分方程**．
说一阶微分方程是线性的，则它必有形式

$$
\frac{d y}{d t}=a(t) y+b(t)
$$

即在微分方程中未知函数 $y$ 及其一阶导数 $\frac{ d y}{d t}$ 是一次的．例如，$\frac{ d y}{d t}=y^2$ 不是线性的，无论怎样选取 $a(t), b(t)$ 都不能有 $y^2$ 表示成 $a(t) y+b(t)$ 的形式．方程的线性与自变量的选取无关．例如，$\frac{ d P}{d t}= e ^t P-\cos t$ 是线性的，其中 $a(t)=e^t, b(t)=-\cos t$ ．又如，$\frac{ d w}{d t}=(\tan t) w$ 是线性的 $(a(t)=\tan t, b(t)=0)$ ，但 $\frac{ d x}{d t}=t \sin x$ 不是线性的．

## 线性原理
由导数的线性性质，易知如下的线性原理：

**定理1.1(线性原理)** 若 $y_h(t)$ 是齐次方程 $\frac{ d y}{d t}=a(t) y$ 的一个解，则对任意常数 $k, k y_h(t)$ 也是方程的解．

实际上，齐次方程 $\frac{ d y}{d t}=a(t) y$ 也是变量分离方程，它的通解为 $y(t)=c e ^{\int a(t) d t}$ ，其中，$c$ 为任意常数．

`例` 求解方程 $\frac{ d y}{d t}=(\cos t) y$ ．
解 此为齐次线性方程，其通解为 $y(t)=c e ^{\int \cos t d t}=c e ^{\sin t}$ ，其中 $c$ 为任意常数．

**注记** 定理1．1仅适用于齐次线性方程，对非线性方程不适用，如 $\frac{ d y}{d t}=y^2$ 有解 $y_1(t)=\frac{1}{1-t}$ ，但是 $y_2(t)=2 y(t)=\frac{2}{1-t}$ 不是方程的解。但对于非齐次线性方程有下述线性原理，称为拓广的线性原理：

**定理1.2（拓广的线性原理**）考虑非齐次方程 $\frac{ d y}{d t}=a(t) y+b(t)$ 和它相应的齐次方程 $\frac{ d y}{d t}=a(t) y$ ，

> **（1）若 $y_h(t)$ 是齐次方程的解，而 $y_p(t)$ 是非齐次方程的任一解，则它们的和 $y_h(t)+y_p(t)$ 是非齐次方程的解；
（2）若 $y_p(t), y_q(t)$ 是非齐次方程的两个解，则它们的差 $y_p(t)-y_q(t)$ 是齐次方程的解．
因此，若 $y_h(t)$ 非零，则 $k y_h(t)+y_p(t)$ 是非齐次方程的通解，其中 $k$ 为任意常数．**

证明（1）因为 $y_h(t)$ 是齐次方程 $\frac{ d y}{d t}=a(t) y$ 的解，所以 $\frac{ d y_h(t)}{ d t}=a(t) y_h(t)$ ．又因为 $y_p(t)$ 是非齐次方程 $\frac{ d y}{d t}=a(t) y+b(t)$ 的解，则有 $\frac{ d y_p(t)}{ d t}=a(t) y_p(t)+b(t)$ ，因而

$$
\begin{aligned}
\frac{d\left(y_h(t)+y_p(t)\right)}{d t} & =\frac{d y_h(t)}{d t}+\frac{d y_p(t)}{d t} \\
& =a(t) y_h(t)+a(t) y_p(t)+b(t) \\
& =a(t)\left(y_h(t)+y_p(t)\right)+b(t)
\end{aligned}
$$

故 $y_h(t)+y_p(t)$ 是非齐次方程的解．
（2）直接代入齐次方程即可得证．

##  一阶线性微分方程识别方法
**一阶线性微分方程**的识别，核心是抓住 **“一阶”** 和 **“线性”** 两个关键特征，无需限制系数为常数（这是和一阶**常系数**线性微分方程的核心区别），具体判断方法如下：

### 一、 标准形式
一阶线性微分方程的**标准形式**为：
$$y'+P(x)y=Q(x)$$
其中 $x$ 是自变量，$y$ 是未知函数，$P(x)$ 和 $Q(x)$ 是关于 $x$ 的已知函数（可以是常数，也可以是含 $x$ 的表达式）。

### 二、 两步识别法
1.  **第一步：判定“一阶”**
    方程中**最高阶导数是一阶导数** $y'$（或写作 $\frac{dy}{dx}$），不存在 $y''、y'''$ 等高阶导数。
    - 符合示例：$y'+\frac{1}{x}y = x^2$、$y'+2y=\sin x$ → 只有 $y'$，是一阶。
    - 排除反例：$y''+xy=1$ → 含二阶导数 $y''$，不是一阶；$\frac{d^3y}{dx^3}-y=x$ → 含三阶导数，排除。

2.  **第二步：判定“线性”**
    未知函数 $y$ 及其一阶导数 $y'$ 必须满足 **“一次、无乘积、无非线性运算”** 三个要求：
    - 要求1：$y$ 和 $y'$ 都是**一次幂**，不能出现 $y^2、(y')^3$ 等高次项；
    - 要求2：不能出现 $y$ 与 $y'$ 的乘积项，比如 $y\cdot y'、x\cdot y \cdot y'$；
    - 要求3：不能对 $y$ 或 $y'$ 进行非线性运算，比如 $\sin y、e^{y'}、\frac{1}{y}$。

- 符合示例：$y'+\cos x \cdot y = e^x$ → $y$ 和 $y'$ 都是一次，无非线性项。
    - 排除反例：
      - $y'+y^2=x$ → 含 $y^2$（$y$ 的二次项），非线性；
      - $y'\cdot y = 1$ → 含 $y'\cdot y$（乘积项），非线性；
      - $y'+\sin y = x$ → 含 $\sin y$（非线性运算），非线性。

### 三、 易错点：先整理成标准形式再判断
很多方程不是直接给出标准形式，需要先整理变形，再按上述两步判断。
- 示例：判断方程 $x y' - 2y = x^3$ 是否为一阶线性微分方程
  1.  整理：两边除以 $x$（$x\neq0$），得到 $y' - \frac{2}{x}y = x^2$；
  2.  判断：
      - 最高阶导数是 $y'$ → 一阶；
      - $y$ 和 $y'$ 都是一次，无非线性项 → 线性。
  3.  结论：是一阶线性微分方程（其中 $P(x)=-\frac{2}{x}$，$Q(x)=x^2$）。

### 四、 与一阶常系数线性微分方程的对比
| 特征                | 一阶线性微分方程                | 一阶常系数线性微分方程          |
|---------------------|---------------------------------|---------------------------------|
| 标准形式            | $y'+P(x)y=Q(x)$               | $y'+py=Q(x)$（$p$ 为常数）  |
| 系数要求            | $P(x)$ 是关于 $x$ 的函数     | $p$ 必须是常数                |
| 包含关系            | 范围更广，包含常系数的情况      | 是一阶线性微分方程的特殊情况    |

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