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常微分方程
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线性常微分方程组
最后更新:
2023-10-21 22:01
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线性常微分方程组
设 $a_{i j}(x), f_i(x), i, j=1,2, \cdots, n$ 是区间 $[a, b]$ 上的一元实函数,且 $y_i, i=1,2, \cdots, n$ 是关于 $x$ 的未知函数,称 $$ \left\{\begin{array}{l} y_1^{\prime}=a_{11}(x) y_1+a_{12}(x) y_2+\cdots+a_{1 n}(x) y_n+f_1(x), \\ y_2^{\prime}=a_{21}(x) y_1+a_{22}(x) y_2+\cdots+a_{2 n}(x) y_n+f_2(x), \\ \cdots, \\ y_n^{\prime}=a_{n 1}(x) y_1+a_{n 2}(x) y_2+\cdots+a_{n n}(x) y_n+f_n(x) . \end{array}\right. $$ 为一个线性常微分方程组,一般我们只关心未知函数变量个数和方程个数相等的方程组。 ## 记号 如果引入函数矩阵以及向量值函数 $$ \boldsymbol{A}(x)=\left(\begin{array}{cccc} a_{11}(x) & a_{12}(x) & \cdots & a_{1 n}(x) \\ a_{21}(x) & a_{22}(x) & \cdots & a_{2 n}(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1}(x) & a_{n 2}(x) & \cdots & a_{n n}(x) \end{array}\right), \quad \boldsymbol{f}(x)=\left(\begin{array}{c} f_1(x) \\ f_2(x) \\ \vdots \\ f_n(x) \end{array}\right) $$ 和未知函数向量及其导数 $$ \boldsymbol{y}(x)=\left(\begin{array}{c} y_1(x) \\ y_2(x) \\ \vdots \\ y_n(x) \end{array}\right), \quad \boldsymbol{y}^{\prime}(x)=\left(\begin{array}{c} y_1^{\prime}(x) \\ y_1^{\prime}(x) \\ \vdots \\ y_n^{\prime}(x) \end{array}\right) $$ 那么方程组 $(*)$ 便可形式地写作 $$ \boldsymbol{y}^{\prime}(x)=\boldsymbol{A}(x) \boldsymbol{y}(x)+\boldsymbol{f}(x) \quad(* *) . $$ 简写为 $$ \boldsymbol{y}^{\prime}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{y}+\boldsymbol{f} $$ 我们现在给上式以明确意义:对函数矩阵以及向量值函数,规定它们的所有有关一元实函数的性质都是对所有分量函数而言的,例如,说函数矩阵 $\boldsymbol{A}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续,是指每个分量函数 $a_{i j}(x), i, j=1,2, \cdots, n$ 在 $[a, b]$ 上连续,求导和求积分都是这样,一元实函数中成立的相关导数公式可以推广到此。 ## 解向量 我们称微分方程组的解为解向量,它是一个确定的有关自变量 $x$ 的函数向量,对于一个有关自变量 $x$ 的函数向量 $\boldsymbol{y}(x)$ ,将它带入方程组 $(* *)$ 中满足等式成立,就说它是方程组 $(* *)$ 的解向量,能用一个含有某些参数表示微分方程组的所有解向量的解向量 $\boldsymbol{y}\left(x, c_1, c_2, \cdots, c_n\right)$ ,称作微分方程组的通解。 设 $\boldsymbol{\eta}$ 为常向量, $x_0 \in[a, b]$ ,称满足下列条件 $$ \boldsymbol{y}^{\prime}(x)=\boldsymbol{A}(x) \boldsymbol{y}(x)+\boldsymbol{f}(x), \quad \boldsymbol{y}\left(x_0\right)=\boldsymbol{\eta}, \quad(* * *) $$ 的解向量 $\boldsymbol{y}(x)$ 如果存在,就称为方程组 $(* *)$ 满足初值问题 $\boldsymbol{y}\left(x_0\right)=\boldsymbol{\eta}$ 的解。 ## 存在唯一性定理 设 $a_{i j}(x), f_i(x), i, j=1,2, \cdots, n$ 是区间 $[a, b]$ 上的连续函数,且 $y_i, i=1,2, \cdots, n$ 是关于 $x$ 的未知函数,设 $\boldsymbol{\eta}$为常向量, $x_0 \in[a, b]$ ,满足下列条件 $$ \boldsymbol{y}^{\prime}(x)=\boldsymbol{A}(x) \boldsymbol{y}(x)+\boldsymbol{f}(x), \quad \boldsymbol{y}\left(x_0\right)=\boldsymbol{\eta}, \quad(* * *) $$ 的解 $\boldsymbol{\varphi}(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上存在且唯一。 以上定理的证明类似于一阶常微分方程的解的存在唯一性的证明,也是分别证明五个命题得到,核心还是使用了皮卡迭代。 1. 原方程 $(* * *)$ 等价于积分方程 $$ \boldsymbol{y}(x)=\boldsymbol{\eta}+\int_{x_0}^x[\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{y}(t)+\boldsymbol{f}(t)] \mathrm{d} t . $$ 2. 选取初始迭代函数向量 $\boldsymbol{\varphi}_0(x)=\boldsymbol{\eta}$ ,做逐步逼近的函数向量序列 $$ \begin{aligned} & \boldsymbol{\varphi}_1(x)=\boldsymbol{\eta}+\int_{x_0}^x\left[\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{\varphi}_0(t)+\boldsymbol{f}(t)\right] \mathrm{d} t, \\ & \boldsymbol{\varphi}_2(x)=\boldsymbol{\eta}+\int_{x_0}^x\left[\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{\varphi}_1(t)+\boldsymbol{f}(t)\right] \mathrm{d} t \end{aligned} $$ $$ \boldsymbol{\varphi}_n(x)=\boldsymbol{\eta}+\int_{x_0}^x\left[\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{\varphi}_{n-1}(t)+\boldsymbol{f}(t)\right] \mathrm{d} t . $$ 在上述假设下,我们称 $\varphi_n(x)$ 为第 $n$ 次迭代的数值近似解。可以证明, $\varphi_n(x)$ 对所有的正整数 $n$ 都在 $[a, b]$上连续。 3. 向量函数序列 $\left\{\boldsymbol{\varphi}_n(x)\right\}_{n=0}^{\infty}$ 在 $[a, b]$ 上一致收玫,记其极限函数向量为 $\boldsymbol{\varphi}(x)$ 。该一致收敛需要借助向量范数和矩阵范数来描述。 4. 极限函数向量 $\boldsymbol{\varphi}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续,进而它就是原方程所对应的一个连续解。 5. 满足原方程的解向量是唯一的,即若存在两个原方程的解向量 $\boldsymbol{\varphi}(x)$ 以及 $\boldsymbol{\psi}(x)$ ,则必有 $\boldsymbol{\varphi}(x)=\boldsymbol{\psi}(x), \forall x \in[a, b]$.
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