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解析方法：变量分离方程

正如对一般的 5 次及其以上代数方程不能用统一公式求解一样，对于一般的微分方程也没有通用的初等解法，而能有初等解法的微分方程是很有限的．本节将介绍最简单的几类可求解的微分方程．

1．2．1 变量分离方程
1．微分方程基本概念
微分方程是联系着自变量、末知函数及其导数的关系式．在前面讨论的微分方程模型中含有三种量：自变量（一般是时间 $t$ ）、未知的因变量（自变量的函数）及参数．微分方程的阶数就是所含有的未知函数导数的最高阶数，前面讨论的 Malthus人口模型及 Logistic 人口模型的未知函数导数都是一阶的，因而它们都是一阶微分方程．

一阶微分方程的标准形式为

$$
\frac{d y}{d t}=f(t, y)
$$

一般情况下，方程的右端项是自变量及未知函数的函数．
微分方程的解是指这样一个函数，把它代入方程，对自变量的任意取值都成为等式，即一个函数 $y=y(t)$ 是一个解，则 $\frac{ d y}{d t}=y^{\prime}(t)=f(t, y(t))$ ．这个定义虽然没有说明怎样去找微分方程的解，但说明了对于一个给定的函数，它是不是方程的解．例如，考虑方程

$$
\frac{d y}{d t}=y
$$

很容易验证 $y_1=2 e ^t$ 是一个解，但 $y_2=\cos t$ 不是解．这是因为

$$
\frac{d y_1}{d t}=\frac{d\left(2 e^t\right)}{d t}=2 e^t=y_1
$$

但

$$
\frac{d y_2}{d t}=\frac{d(\cos t)}{d t}=-\sin t \neq y_2
$$

2．初值问题与通解
实际中遇到的微分方程经常带有初始条件，一个微分方程带有初始条件被称为初值问题．初值问题的一般形式为

$$
\frac{d y}{d t}=f(t, y), \quad y\left(t_0\right)=y_0
$$

例如，

$$
\frac{d y}{d t}=3 t^2+2 \cos t, \quad y(0)=1
$$

是一个初值问题．为了求解这个问题，首先观察到方程的右端仅仅是自变量 $t$ 的函数．寻找一个函数，它的导数是 $3 t^2+2 \cos t$ ．这是一个普通的不定积分问题． $3 t^2+2 \cos t$ 的不定积分为 $\int\left(3 t^2+2 \cos t\right) d t=t^3+2 \sin t+C, C$ 为任意常数．因此，方程的解 $y(t)$ 必须具有形式

$$
y(t)=\int\left(3 t^2+2 \cos t\right) d t=t^3+2 \sin t+C
$$

利用初始条件 $y(0)=1$ 决定常数 $C$ ，可得 $C=1$ ，从而初值问题的解为

$$
y(t)=t^3+2 \sin t+1
$$

解的表达式为

$$
y(t)=\int

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