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变量分离微分方程

> 正如对一般的 5 次及其以上代数方程不能用统一公式求解一样，对于一般的微分方程也没有通用的初等解法，而能有初等解法的微分方程是很有限的．本节将介绍最简单的几类可求解的微分方程．

## 变量分离方程

### 1．微分方程基本概念
微分方程是联系着自变量、末知函数及其导数的关系式．在前面讨论的微分方程模型中含有三种量：自变量（一般是时间 $t$ ）、未知的因变量（自变量的函数）及参数．微分方程的阶数就是所含有的未知函数导数的最高阶数，前面讨论的 Malthus人口模型及 Logistic 人口模型的未知函数导数都是一阶的，因而它们都是**一阶微分方程**．

一阶微分方程的标准形式为

$$
\boxed{
\frac{d y}{d t}=f(t, y) ...(一阶微分方程)
}
$$

一般情况下，方程的右端项是自变量及未知函数的函数．
微分方程的解是指这样一个函数，把它代入方程，对自变量的任意取值都成为等式，即一个函数 $y=y(t)$ 是一个解，则 $\frac{ d y}{d t}=y^{\prime}(t)=f(t, y(t))$ ．这个定义虽然没有说明怎样去找微分方程的解，但说明了对于一个给定的函数，它是不是方程的解．例如，考虑方程

$$
\frac{d y}{d t}=y
$$

很容易验证 $y_1=2 e ^t$ 是一个解，但 $y_2=\cos t$ 不是解．这是因为

$$
\frac{d y_1}{d t}=\frac{d\left(2 e^t\right)}{d t}=2 e^t=y_1
$$

但

$$
\frac{d y_2}{d t}=\frac{d(\cos t)}{d t}=-\sin t \neq y_2
$$

### 2．初值问题与通解
实际中遇到的微分方程经常带有初始条件，一个微分方程带有初始条件被称为初值问题．初值问题的一般形式为

$$
\frac{d y}{d t}=f(t, y), \quad y\left(t_0\right)=y_0
$$

例如，

$$
\frac{d y}{d t}=3 t^2+2 \cos t, \quad y(0)=1
$$

是一个初值问题．为了求解这个问题，首先观察到方程的右端仅仅是自变量 $t$ 的函数．寻找一个函数，它的导数是 $3 t^2+2 \cos t$ ．这是一个普通的不定积分问题． $3 t^2+2 \cos t$ 的不定积分为 $\int\left(3 t^2+2 \cos t\right) d t=t^3+2 \sin t+C, C$ 为任意常数．因此，方程的解 $y(t)$ 必须具有形式

$$
y(t)=\int\left(3 t^2+2 \cos t\right) d t=t^3+2 \sin t+C
$$

利用初始条件 $y(0)=1$ 决定常数 $C$ ，可得 $C=1$ ，从而初值问题的解为

$$
y(t)=t^3+2 \sin t+1
$$

解的表达式为

$$
y(t)=\int\left(3 t^2+2 \cos t\right) d t=t^3+2 \sin t+C
$$

称为**方程的通解**，可以利用它求解任一初值问题．例如，对初始条件 $y(0)=\pi$ ，可以选取 $C=\pi$ ，则 $y(t)=t^3+2 \sin t+\pi$ 是初值问题 $\frac{ d y}{d t}=3 t^2+2 \cos t, y(0)=\pi$ 的解．

### 3．变量分离方程
形如

$$
\frac{d y}{d t}=g(t) f(y) ...(1.1)
$$

的方程，称为**变量分离方程**，其中 $g(t), f(y)$ 分别为 $t, y$ 的连续函数．
例如，方程

$$
\frac{d y}{d t}=t y
$$

是变量分离方程，但方程

$$
\frac{d y}{d t}=2 t+y
$$

不是变量分离的．下面通过具体实例来求解变量分离方程．

## 变量分离方程的求解
`例` 求解方程 $\frac{ d y}{d t}=-\frac{t}{y^2}$ ．
分析 直接对方程两端积分看会怎样．两端关于 $t$ 积分有

$$
\int \frac{d y}{d t} d t=\int-\frac{t}{y^2} d t
$$

于是

$$
y(t)=-\int \frac{t}{y^2} d t
$$

但右端积分中的 $y(t)$ 是未知的，无法得到积分．实际上，这样做仅仅是把一个微分方程化为一个积分方程．换个角度，把含有 $y$ 的项移到左边，把含有 $t$ 的项移到右端，把变量＂分离＂开，这样原方程变为

$$
y^2 d y=-t d t
$$

两端积分有

$$
\int y^2 d y=\int-t d t
$$

这样左端看成关于 $y$ 的积分，右端看成关于 $t$ 的积分可求解．

**解** 将变量分离得到

$$
y^2 d y=-t d t
$$

两端积分即得

$$
\frac{y^3}{3}=-\frac{t^2}{2}+\frac{c}{6}
$$

因而通解为

$$
2 y^3+3 t^2=c
$$

其中 $c$ 是任意常数．或者解出 $y$ ，写出显函数形式的解为

$$
y=\left(\frac{c-3 t^2}{2}\right)^{\frac{1}{3}}
$$

`例`求解方程 $\frac{ d y}{d t}=\frac{y(-c+f t)}{t(a-b y)}, t>0, y \geqslant 0$ ．
解 方程可变量分离为

$$
\left(\frac{c}{t}-f\right) d t=\left(-\frac{a}{y}+b\right) d y
$$

积分得

$$
c \ln |t|-f t=-a \ln |y|+b y+\bar{k}
$$

其中 $\bar{k}$ 为任意常数．上式可化为
$$
t^c e^{-f t} y^a e^{-b y}= \pm k
$$

其中，$k= e ^{\bar{k}}$ ．因为方程还有特解 $y=0$ ，并考虑到条件 $t>0, y \geqslant 0$ ，于是方程的通解为

$$
t^c e^{-f t} y^a e^{-b y}=k
$$

其中 $k$ 为任意非负常数．

`例`求解人口增长的Logistic模型

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d P}{d t}=k P\left(1-\frac{P}{N}\right), \\
P\left(t_0\right)=P_0, P(t) \geqslant 0 .
\end{array}\right.
$$

解 应用变量分离方法并对分式分解化为

$$
k d t=\frac{N d P}{(N-P) P}=\frac{d P}{P}+\frac{d P}{N-P}
$$

两边积分得

$$
k t+\bar{c}=\ln P-\ln |N-P|
$$

其中， $\bar{c}$ 为任意常数．化简得

$$
e^{-(k t+\overline{c})}=\left|\frac{N}{P}-1\right|
$$

解得

$$
P=\frac{N}{1+c e^{-k t}},
$$

其中，$c= \pm e ^{-\bar{c}}$ ．由于取 $c=0$ 时，$P=N$ 是方程的解，因而这里 $c$ 可取为任意常数．
将初始条件 $t=t_0$ 时，$P=P_0$ 代入得

$$
c e^{-k t_0}=\frac{N}{P_0}-1
$$

最后得解为

$$
P=\frac{N}{1+\left(\frac{N}{P_0}-1\right) e^{-k\left(t-t_0\right)}}
$$

此外，当 $P_0=0$ 时，初值问题的解为 $P(t)=0$ ．

### 总结
综上，变量分离方程(1.1)求解如下：如果 $f(y) \neq 0$ ，先改写为

$$
\frac{d y}{f(y)}=g(t) d t
$$

这样把变量进行分离，两边积分得到

$$
\int \frac{d y}{f(y)}=\int g(t) d t+c ...(1.2)
$$

这里把积分常数 $c$ 写出，而把 $\int \frac{ d y}{f(y)}, \int g(t) d t$ 理解为 $\frac{1}{f(y)}, g(t)$ 的一个原函数．常数 $c$ 的取值必须保证（1．2）有意义．

## 关于丢解问题的注记
因为式(1.2)不适合 $f(y)=0$ 的情形，但如果存在 $y_0$ ，使得 $f\left(y_0\right)=0$ ，那么直接验证 $y=y_0$ 也是（1．1）的解．因此，需要寻求使 $f(y)=0$的解 $y_0$ 。当 $y=y_0$ 不包括在所求得的方程（1．1）的通解表达式中时，必须补上特解 $y=y_0$ 。例如，考虑方程

$$
\frac{d y}{d t}=y^2
$$

如果分离变量，则进行积分有

$$
\int \frac{d y}{y^2}=\int d t
$$

$$
\begin{gathered}
-\frac{1}{y}=t+c \\
y(t)=-\frac{1}{t+c}
\end{gathered}
$$

这是方程的通解，然而用这个解并不能求所有的初值问题．事实上，由 $y(0)=-\frac{1}{c}$ ，不能用此求解初值 $y(0)=0$ 的情形．问题在于在分离变量求解方程时已经忽略了某些解，因为 $f(y)=y^2=0$ ，所以 $y=0$ 也是方程的解，但它不包含在 $y(t)=-\frac{1}{t+c}$中，即 $c$ 取任一常数时，$y(t)=-\frac{1}{t+c}$ 都不为 0 ，因而在用分离变量求解后，必须把 $y=0$ 这个解补上，它恰是满足初始条件 $y(0)=0$ 的解，也是在求解中唯一丢失的解．

## 关于无显式解问题的注记
关于无显式解问题的注记 在例1中，可以把通解写成

$$
2 y^3+3 t^2=c
$$

的隐式形式，也可写成

$$
y=\left(\frac{c-3 t^2}{2}\right)^{\frac{1}{3}}
$$

的显式形式，但对一般的方程并不一定能表示出 $y$ 的显式表达式，这时只需给出 $\Phi(t, y, c)=0$ 的隐式通解即可。例如，考虑方程

$$
\frac{d y}{d t}=\frac{y}{1+y^2},
$$

分离变量有

$$
\left(\frac{1+y^2}{y}\right) d y=d t,
$$

积分得

$$
\ln |y|+\frac{y^2}{2}=t+c,
$$

但无法从中解出 $y$ ．
尽管不能从隐式解中得到显式解，但有一个解不包含在

$$
\ln |y|+\frac{y^2}{2}=t+c
$$

中，那就是计算中丢掉的解 $y=0$ ．
另一个可能出现的问题是某些积分是很难求出的．例如，方程

$$
\frac{d y}{d t}=\sec \left(y^2\right),
$$

分离变量积分有

$$
\int \cos y^2 d y=\int d t
$$

左端是很难求积分的，事实上，经常就把这个积分看成一个一般函数对待了．这就告诉我们像变量分离方程这样简单的微分方程，也不可能依赖解析工具给出显式解来研究微分方程．

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