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常微分方程
第一篇 一阶微分方程
Malthus 人口模型
最后
更新:
2025-06-06 07:58
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Malthus 人口模型
在反映客观世界发展过程的量与量之间的关系中,大量存在着满足常微分方程关系式的数学模型。而利用数学研究现实生活应用的重要一步就是建立与之相应的数学模型.本节在不同的假设条件下建立了两种常微分方程的人口模型,目标是从假设条件出发得到数学模型,并通过引入解析方法、定性方法对这些模型进行研究,对其发展作出预测. 1.1.1 Malthus 人口模型 英国人口统计学家马尔萨斯(Malthus)在担任牧师期间,查看了当地教堂 100多年来的人口出生统计资料,发现了如下现象:人口出生率是一个常数。在 1798年,他发表了《人口原理》一书,其中提出了著名的 Malthus 人口模型. 他的基本假定条件如下:在人口自然增长的过程中,人口增长率与人口总数成正比.现在对此进行分析,该假定条件比较简单,因而期望该数学模型也较简单.此模型涉及如下数量: $t$ 表示时间(变量),$P$ 表示人口数(依赖于时间),$k$ 表示人口增长率与人口数之间的比例常数(参数),参数 $k$ 称为单位增长率.人口数关于时间的增长率是人口数 $P$ 关于时间变量 $t$ 的导数 $\frac{ d P}{d t}$ ,与人口数成正比描述为 $k P$ ,因而得如下微分方程: $$ \frac{d P}{d t}=k P $$ 这是本课程得出的第一个微分方程的实例,其为一阶常微分方程. 1.定性方法 因为 $\frac{ d P}{d t}=k P$ ;若 $P=0$ ,则 $\frac{ d P}{d t}=0$ ,所以常值函数 $P(t)=0$ 是方程的一个解.因为该解永远是常数,所以称之为平衡解.其现实意义如下,若人
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