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将军饮马
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2023-10-12 08:49
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将军饮马
**问题背景** 传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦。一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题:将军每天从军营$A$出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的$B$地开会,应该怎样走才能使路程最短? ![图片](/uploads/2023-10/d2a80a.jpg) 从此,这个被称为"将军饮马"的问题广泛流传。 这个问题的解决并不难,据说海伦略加思索就解决了它。抽象为数学模型:直线$l$同侧有两个定点$A、B$,请在直线$l$上找一点$C$,使$AC+BC$最小。 ![图片](/uploads/2023-10/60cd9d.jpg) 假设点$A、B$在直线$l$的异侧就好了,这样我们就可以利用【**两点之间线段最短**】找到点C的位置了。即连接AB交直线l于点C。 ![v2-X.GIF](/uploads/2023-10/ae5780.GIF) 因此,我们可以找点 $A$ 关于直线 $l$ 的**对称点$A^{\prime}$**,再连接 $A^{\prime} B$ 交直线 $l$ 于点 $C$ ,点 $C$ 即为所求! 如果将军在河边的另外任一点C'饮马, 所走的路程就是 $A C^{\prime}+C^{\prime} B$ 但是, $A C^{\prime}+C^{\prime} B=A^{\prime} C^{\prime}+C^{\prime} B>A^{\prime} B=A^{\prime} C+C B=A C+C B$. 故在点C处饮马,路程最短。 ![图片](/uploads/2023-10/f318f2.jpg) ## 六大模型 1.如图,直线l和l的异侧两点A.B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小。 ![图片](/uploads/2023-10/491101.jpg) 2.如图,直线l和l的同侧两点A.B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小。 ![图片](/uploads/2023-10/e176aa.jpg) 3.如图,点 $P$ 是 $\angle M O N$ 内的一点,分别在 $O M , O N$ 上作点A,B。使 $\triangle P A B$ 的周长最小 ![图片](/uploads/2023-10/ce8107.jpg) 4. 如图,点 $P , Q$ 为 $\angle M O N$ 内的两点,分别在 $O M , O N$ 上作点A, $B$ 。使四边形 $P A Q B$ 的 周 长最小。 ![图片](/uploads/2023-10/5496c2.jpg) 5.如图,点 $A$ 是 $\angle M O N$ 外的一点,在射线 $O N$ 上作点 $P$ ,使 $P A$ 与点 $P$ 到射线 $O M$ 的距离之和 最小 ![图片](/uploads/2023-10/ab01cd.jpg) 6. 如图,点 $A$ 是 $\angle M O N$ 内的一点,在射线 $O N$ 上作点 $P$ ,使 $P A$ 与点 $P$ 到射线 $O M$ 的距离之和 最小 ![图片](/uploads/2023-10/b05284.jpg) ## 试题挑战 例1:如图,在等边 $\triangle A B C$ 中, $A B=2 , N$ 为 $A B$ 上一点,且 $A N=1$ , $A D=\sqrt{3} , \angle B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点 $D , M$ 是 $A D$ 上的动点,连接 $B M 、 M N$ ,则 $B M+M N$ 的 最小值是 ![图片](/uploads/2023-10/a4d1bc.jpg) 【解析】连接 $C N$ ,与 $A D$ 交于点 $M$ ,连接 $B M$ ,此时 $B M+M N$ 取得最小值,由 $A D$ 为 $\angle B A C$ 的角平分线,利用三线合一得到 $A D \perp B C$ ,且平分 $B C$ ,可得出 $B M=C M$ ,由 $B M+M N=$ $\mathrm{CM}+\mathrm{MN}=\mathrm{CN}$ ,可得出 $C N$ 的长为最小值,利用等边三角形的性质及勾股定理求出即可. 在Rt $\triangle A C N$ 中, $A C=A B=2 , A N=1$ ,根据勾股定理得: $C N=\sqrt{3}$ ,故填: $\sqrt{3}$. 例题2:如图,在锐角三角形 $A B C$ 中, $A B=4 , \triangle A B C$ 的面积为 $8 , B D$ 平分 $\angle A B C$. 若M、N分别是 $B D 、 B C$ 上的动点,则 $C M+M N$ 的最小值是 ![图片](/uploads/2023-10/772ca6.jpg) $\because B D$ 平分 $\angle A B C , M^{\prime} E \perp A B$ 于点 $E , M^{\prime} N^{\prime} \perp B C$ 于 , $\therefore \mathrm{M}^{\prime} \mathrm{N}^{\prime}=\mathrm{M}^{\prime} \mathrm{E}, \quad \therefore \mathrm{CE}=\mathrm{CM}^{\prime}+\mathrm{M}^{\prime} \mathrm{E}$ $\therefore$ 当点 $\mathrm{M}$ 与 $\mathrm{M}^{\prime}$ 重合,点 $\mathrm{N}$ 与 $\mathrm{N}^{\prime}$ 重合时, $\mathrm{CM}+\mathrm{MN}$ 的最小值. $\because$ 三角形 $\mathrm{ABC}$ 的面积为 $8, \mathrm{AB}=4 , \therefore 1 / 2 \times 4 \mathrm{CE}=8, \therefore \mathrm{CE}=4$. 即CM+MN的最小值为 4 . 例题3:如图,已知正方形 $A B C D$ 的边长是为 $10 \mathrm{~cm} , \triangle \mathrm{ABE}$ 为等边三角形 (点E在正方形内),若 $P$ 是 $A C$ 上的一个动点, $P D+P E$ 的最小值是多少 ![图片](/uploads/2023-10/57e247.jpg) 【解答】如图所示: 连接 $B P . \because$ 正方形 $A B C D$ 的边长是为 $10 \mathrm{~cm} , \triangle \mathrm{ABE}$ 为等边三角形, $$ \therefore \mathrm{BE}=\mathrm{AB}=10 \mathrm{~cm} \text {. } $$ $\because A B C D$ 为正方形, $P$ 是 $A C$ 上的一个动点, $\therefore P B=P D , \therefore P E+P D=P B+P E$. $\because P B+P E \geq B E , \therefore$ 当点 $E 、 P 、 B$ 在一条直线上时, $P D+P E$ 有最小值,最小值 $=B E=$ $10 \mathrm{~cm}$. 例4:如图,在正方形 $A B C D$ ,边长为 $4 , E$ 为 $A B$ 上的点, $A E=1 , P$ 为 $B C$ 上的点, $C P=2 , O$ 为 $A C$ 的中点. 则 $\triangle E O P$ 周长的最小值是 ![图片](/uploads/2023-10/image_20231012ed555e6.png) 【解答】如图作 $E$ 关于直线 $B C$ 的对称点 $E$ ,连接 $O E$ 交 $B C$ 于 $P$ ,连接 $P E$ ,则此时 $\triangle P E O$ 的周长最小. 作 $O H \perp A B$ 于 $H$. 在 Rt $\triangle E O H$ 中,易知 $O H=2, E H=1, O E=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$, 在 Rt $\triangle O H E$ 中,易知 $H E=5, O H=2, O E=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}$ , $\therefore \triangle E O P$ 的周长的最小值为 $\sqrt{5}+\sqrt{29}$. 例5:如图,正方形 $A B C D$ 中, $A B=8$ ,动点E从 $A$ 出发向 $D$ 运动, 动点 $F$ 从 $B$ 出发向 $A$ 运动,点 $E 、 F$ 运动的速度相同. 当它们到达各自终点时停止运动,运 动过程中线段 $B E 、 C F$ 相交于点 $P$ , $H$ 是线段 $C D$ 上任意一点,则 $A H+P H$ 的最小值为 ![图片](/uploads/2023-10/image_202310128b02eca.png) 【解答】如图,作点 $A$ 关于直线 $C D$ 的对称点 $A^{\prime}$ ,连接 $H A^{\prime}$. 由轴对称的性质可知: $H A=H A^{\prime} , \therefore H A+H P=H A^{\prime}+H P$ , $\therefore$ 当 HA'+PH最短时, $\mathrm{HA}+\mathrm{HP}$ 的值最小, $\because \mathrm{AE}=\mathrm{BF}, \mathrm{BA}=\mathrm{BC}, \angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{CBF}=90^{\circ}$ , $\therefore \triangle \mathrm{BAE} \cong \triangle \mathrm{CBF}(\mathrm{SAS}), \therefore \angle \mathrm{ABE}=\angle \mathrm{BCF}$ , $\because \angle \mathrm{ABE}+\angle \mathrm{CBP}=90^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{BCP}+\angle \mathrm{CBP}=90^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{CPB}=90^{\circ}$, $\therefore$ 点 $\mathrm{P}$ 在是以 $\mathrm{BC}$ 为直径的 $\odot \mathrm{O}$ 上运动(图中弧 $\mathrm{BP}^{\prime} , \mathrm{P}^{\prime}$ 是弧 $\mathrm{BC}$ 的中点), 当点 $P$ 与 $P^{\prime}$ 重合时, $H A+H P^{\prime}$ 的值最小,最小值 $=$ 线段 $P^{\prime} A$ ' 的长,作 $P^{\prime} G \perp A D$ 于 , 连接 $P A^{\prime}$. 在 Rt $\triangle P A^{\prime} G$ 中, $P A^{\prime}=\sqrt{4^2+12^2}=4 \sqrt{10}$ , $\therefore H A+H P$ 的值最小为 $4 \sqrt{10}$ 例6:如图,矩形 $A B C D 中 , A B=6 , B C=8 , P$ 是边 $C D$ 上一点, $Q$ 是以 $A D$ 为直径的半圆上一点,则 $B P+P Q$ 的最小值为 ![图片](/uploads/2023-10/image_20231012cc8f64b.png) 【解析】设半圆的圆心为 $\mathrm{O}$ ,作 $O$ 关于 $C D$ 的对称点 $\mathrm{O}^{\prime}$ ,连接 $B O^{\prime}$ 交 $C D$ 于点 $\mathrm{P}$ ,连接 $P O$ 交 半圆 $O$ 于点 $Q$ ,此时 $B P+P Q$ 取最小值,如图所示. 过 $O^{\prime}$ 作 $O ' E \perp B C$ 交 $B C$ 的延长线于 $E$ , 根据矩形的性质得到 $C E=D O^{\prime}=4 , E O^{\prime}=C D=6$ ,当 $B P+P Q$ 取最小值时, $B P+P Q=B O^{\prime}$ -1/2OD,根据勾股定理即可得 $6 \sqrt{5} - 4$.
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