最后更新: 2025-03-23 06:22 查看: 522 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

将军饮马

## 问题背景

传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营$A$出发，先到河边饮马，让马先喝足了水有力气，然后再骑马去河岸同侧的$B$地开会，应该怎样走才能使路程最短?

![图片](/uploads/2023-10/d2a80a.jpg)

从此，这个被称为"将军饮马"的问题广泛流传。 这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它。抽象为数学模型：直线$l$同侧有两个定点$A、B$,请在直线$l$上找一点$C$,使$AC+BC$最小。
![图片](/uploads/2023-10/60cd9d.jpg)

假设点$A、B$在直线$l$的异侧就好了，这样我们就可以利用【**两点之间线段最短**】找到点C的位置了。即连接AB交直线l于点C。

![v2-X.GIF](/uploads/2023-10/ae5780.GIF)

因此，我们可以找点 $A$ 关于直线 $l$ 的**对称点$A^{\prime}$**，再连接 $A^{\prime} B$ 交直线 $l$ 于点 $C$ ，点 $C$ 即为所求!

如果将军在河边的另外任一点C'饮马，
所走的路程就是 $A C^{\prime}+C^{\prime} B$ 但是， $A C^{\prime}+C^{\prime} B=A^{\prime} C^{\prime}+C^{\prime} B>A^{\prime} B=A^{\prime} C+C B=A C+C B$. 故在点C处饮马，路程最短。

![图片](/uploads/2023-10/f318f2.jpg)

## 六大模型

1.如图，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
![图片](/uploads/2023-10/491101.jpg)

2.如图，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
![图片](/uploads/2023-10/e176aa.jpg)

3.如图，点 $P$ 是 $\angle M O N$ 内的一点，分别在 $O M ， O N$ 上作点A，B。使 $\triangle P A B$ 的周长最小
![图片](/uploads/2023-10/ce8107.jpg)

4. 如图，点 $P ， Q$ 为 $\angle M O N$ 内的两点，分别在 $O M ， O N$ 上作点A， $B$ 。使四边形 $P A Q B$ 的 周 长最小。
   ![图片](/uploads/2023-10/5496c2.jpg)

5.如图，点 $A$ 是 $\angle M O N$ 外的一点，在射线 $O N$ 上作点 $P$ ，使 $P A$ 与点 $P$ 到射线 $O M$ 的距离之和 最小
![图片](/uploads/2023-10/ab01cd.jpg)

6. 如图，点 $A$ 是 $\angle M O N$ 内的一点，在射线 $O N$ 上作点 $P$ ，使 $P A$ 与点 $P$ 到射线 $O M$ 的距离之和 最小
   ![图片](/uploads/2023-10/b05284.jpg)

> 总之，当遇到求两个线段极值问题时，要有限考虑将军饮马。

## 将军饮马的代数化(求距离问题)
求 $\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(x-a)^2+b^2}$的最小值，其中$a,b$ 大于零。

解:把代数问题几何化，如图所示，设 $A(0,1), ~ B(a, b)$ ， $C$ 在$x$轴上运动。本题就是求的 $|A C|+|B C|$ 的最小值。
 ![图片](/uploads/2025-03/77bfa0.jpg)

设$C$的坐标为$(x,0)$, 首先写出表达式

$$
|A C|+|B C|=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(x-a)^2+b^2}
$$

求导，令导数等于零

$$
\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{x-a}{\sqrt{(x-a)^2+b^2}}=0
$$

整理化简得

$$
(x-a)^2=(b x)^2
$$

极小值点显然在 $(0, a)$ 范围内，两侧开平方

$$
a-x=b x \Leftrightarrow \frac{x}{1}=\frac{a-x}{b}
$$

这意味着CA与 $x$ 轴所成的锐角等于 $C B$ 与 $x$ 轴所成的锐角，正好对应几何解法中 $A, C, B^{\prime}$ 三点共线。

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### 加权重的将军饮马

现在考虑加权重的将军饮马。如上图，条件不变，求 $|A C|+k|B C|$ 的最小值 $(k>0)$ 。
同样可以写出

$$
|A C|+|B C|=\sqrt{x^2+1}+k \sqrt{(x-a)^2+b^2}
$$

于是

$$
\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+k \cdot \frac{x-a}{\sqrt{(x-a)^2+b^2}}=0
$$

这个方程不好解，但是如果把 AC 与坚直方向的夹角记作 $\alpha, BC$ 与坚直方向的夹角记作 $\beta$ ，上式可化为

$$
\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}=k
$$

如果 $x$ 轴是两种介质的分界面，光从 $A$ 点出发，要以最短时间到达 $B^{\prime}$ 点，但是光在 $x$ 轴下方介质中的传播速度是光在上方介质中的传播速度的k倍，那么光路一定满足上面的特征。至此，我们利用费马原理推出了光的**折射定律**。

> 费马原理指 光线传播的路径是需时最少的路径

## 试题挑战

例1：如图，在等边 $\triangle A B C$ 中， $A B=2 ， N$ 为 $A B$ 上一点，且 $A N=1$ ， $A D=\sqrt{3} ， \angle B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点 $D ， M$ 是 $A D$ 上的动点，连接 $B M 、 M N$ ，则 $B M+M N$ 的 最小值是
![图片](/uploads/2023-10/a4d1bc.jpg)

【解析】连接 $C N$ ，与 $A D$ 交于点 $M$ ，连接 $B M$ ，此时 $B M+M N$ 取得最小值，由 $A D$ 为 $\angle B A C$ 的角平分线，利用三线合一得到 $A D \perp B C$ ，且平分 $B C$ ，可得出 $B M=C M$ ，由 $B M+M N=$ $\mathrm{CM}+\mathrm{MN}=\mathrm{CN}$ ，可得出 $C N$ 的长为最小值，利用等边三角形的性质及勾股定理求出即可. 在Rt $\triangle A C N$ 中， $A C=A B=2 ， A N=1$ ，根据勾股定理得: $C N=\sqrt{3}$ ，故填: $\sqrt{3}$.

例题2：如图，在锐角三角形 $A B C$ 中， $A B=4 ， \triangle A B C$ 的面积为 $8 ， B D$ 平分 $\angle A B C$. 若M、N分别是 $B D 、 B C$ 上的动点，则 $C M+M N$ 的最小值是
![图片](/uploads/2023-10/772ca6.jpg)

$\because B D$ 平分 $\angle A B C ， M^{\prime} E \perp A B$ 于点 $E ， M^{\prime} N^{\prime} \perp B C$ 于 ，
$\therefore \mathrm{M}^{\prime} \mathrm{N}^{\prime}=\mathrm{M}^{\prime} \mathrm{E}, \quad \therefore \mathrm{CE}=\mathrm{CM}^{\prime}+\mathrm{M}^{\prime} \mathrm{E}$
$\therefore$ 当点 $\mathrm{M}$ 与 $\mathrm{M}^{\prime}$ 重合，点 $\mathrm{N}$ 与 $\mathrm{N}^{\prime}$ 重合时， $\mathrm{CM}+\mathrm{MN}$ 的最小值.
$\because$ 三角形 $\mathrm{ABC}$ 的面积为 $8, \mathrm{AB}=4 ， \therefore 1 / 2 \times 4 \mathrm{CE}=8, \therefore \mathrm{CE}=4$.
即CM+MN的最小值为 4 .

例题3：如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长是为 $10 \mathrm{~cm} ， \triangle \mathrm{ABE}$ 为等边三角形 (点E在正方形内)，若 $P$ 是 $A C$ 上的一个动点， $P D+P E$ 的最小值是多少
![图片](/uploads/2023-10/57e247.jpg)
【解答】如图所示: 连接 $B P . \because$ 正方形 $A B C D$ 的边长是为 $10 \mathrm{~cm} ， \triangle \mathrm{ABE}$ 为等边三角形，

$$
\therefore \mathrm{BE}=\mathrm{AB}=10 \mathrm{~cm} \text {. }
$$

$\because A B C D$ 为正方形， $P$ 是 $A C$ 上的一个动点， $\therefore P B=P D ， \therefore P E+P D=P B+P E$.
$\because P B+P E \geq B E ， \therefore$ 当点 $E 、 P 、 B$ 在一条直线上时， $P D+P E$ 有最小值，最小值 $=B E=$ $10 \mathrm{~cm}$.

例4：如图，在正方形 $A B C D$ ，边长为 $4 ， E$ 为 $A B$ 上的点， $A E=1 ， P$ 为 $B C$ 上的点， $C P=2 ， O$ 为 $A C$ 的中点. 则 $\triangle E O P$ 周长的最小值是
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【解答】如图作 $E$ 关于直线 $B C$ 的对称点 $E$ ，连接 $O E$ 交 $B C$ 于 $P$ ，连接 $P E$ ，则此时 $\triangle P E O$ 的周长最小. 作 $O H \perp A B$ 于 $H$. 在 Rt $\triangle E O H$ 中，易知 $O H=2, E H=1, O E=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$, 在 Rt $\triangle O H E$ 中，易知 $H E=5, O H=2, O E=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}$ ， $\therefore \triangle E O P$ 的周长的最小值为 $\sqrt{5}+\sqrt{29}$.

例5：如图，正方形 $A B C D$ 中， $A B=8$ ，动点E从 $A$ 出发向 $D$ 运动， 动点 $F$ 从 $B$ 出发向 $A$ 运动，点 $E 、 F$ 运动的速度相同. 当它们到达各自终点时停止运动，运 动过程中线段 $B E 、 C F$ 相交于点 $P$ ， $H$ 是线段 $C D$ 上任意一点，则 $A H+P H$ 的最小值为

![图片](/uploads/2023-10/image_202310128b02eca.png)
【解答】如图，作点 $A$ 关于直线 $C D$ 的对称点 $A^{\prime}$ ，连接 $H A^{\prime}$.
由轴对称的性质可知: $H A=H A^{\prime} ， \therefore H A+H P=H A^{\prime}+H P$ ，
$\therefore$ 当 HA'+PH最短时， $\mathrm{HA}+\mathrm{HP}$ 的值最小，
$\because \mathrm{AE}=\mathrm{BF}, \mathrm{BA}=\mathrm{BC}, \angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{CBF}=90^{\circ}$ ，
$\therefore \triangle \mathrm{BAE} \cong \triangle \mathrm{CBF}(\mathrm{SAS}), \therefore \angle \mathrm{ABE}=\angle \mathrm{BCF}$ ，
$\because \angle \mathrm{ABE}+\angle \mathrm{CBP}=90^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{BCP}+\angle \mathrm{CBP}=90^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{CPB}=90^{\circ}$,
$\therefore$ 点 $\mathrm{P}$ 在是以 $\mathrm{BC}$ 为直径的 $\odot \mathrm{O}$ 上运动（图中弧 $\mathrm{BP}^{\prime} ， \mathrm{P}^{\prime}$ 是弧 $\mathrm{BC}$ 的中点），
当点 $P$ 与 $P^{\prime}$ 重合时， $H A+H P^{\prime}$ 的值最小，最小值 $=$ 线段 $P^{\prime} A$ ' 的长，作 $P^{\prime} G \perp A D$ 于 ，
连接 $P A^{\prime}$. 在 Rt $\triangle P A^{\prime} G$ 中, $P A^{\prime}=\sqrt{4^2+12^2}=4 \sqrt{10}$ ，
$\therefore H A+H P$ 的值最小为 $4 \sqrt{10}$

例6：如图，矩形 $A B C D 中 ， A B=6 ， B C=8 ， P$ 是边 $C D$ 上一点， $Q$ 是以 $A D$ 为直径的半圆上一点，则 $B P+P Q$ 的最小值为

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【解析】设半圆的圆心为 $\mathrm{O}$ ，作 $O$ 关于 $C D$ 的对称点 $\mathrm{O}^{\prime}$ ，连接 $B O^{\prime}$ 交 $C D$ 于点 $\mathrm{P}$ ，连接 $P O$ 交 半圆 $O$ 于点 $Q$ ，此时 $B P+P Q$ 取最小值，如图所示. 过 $O^{\prime}$ 作 $O ' E \perp B C$ 交 $B C$ 的延长线于 $E$ ， 根据矩形的性质得到 $C E=D O^{\prime}=4 ， E O^{\prime}=C D=6$ ，当 $B P+P Q$ 取最小值时， $B P+P Q=B O^{\prime}$ -1/2OD，根据勾股定理即可得 $6 \sqrt{5} - 4$.

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