最后更新: 2025-05-15 07:31 查看: 828 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

附录2：正十七边形的做法

## 正十七边形的做法

> 给你一个圆规和无刻度直尺如何画正17边形，你能做出来了？这个看似简单的问题难倒无数大家，如果从欧几里得提出平面几何算起，一直困扰数学家2000多年，知道1801年，才被数学家高斯解决。

高斯，德国人，大数学家、天文学家、物理学家、大地测量学家。高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，高斯的详细介绍请参考[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=637)
![图片](/uploads/2023-10/1f2be1.jpg){width=200px}

## 尺规作图，为什么直尺没有刻度？
在尺规作图里，我们都会要求**直尺是没有刻度**的，而采用纯几何的方法进行制作。
 ![图片](/uploads/2025-05/52eaa0.jpg){width=300px}
 
 事实上，直尺和圆规，是两种最简单的原始工具。跟你一条绳子，对于直尺，根据“两点一线”，用绳子就能拉出一个“直尺”。 而对于圆规，以绳子为一个原点，另外一点为半径，旋转一周，举可以画一个圆。所以，尺规是一种简单的几何工具。

**利用绳子做出直角**
利用“绳子”还可以做出直角三角形，勾股定理告诉我们，如果$a^2+b^2=c^2$ 则三角形是直角三角形。

对勾股数组的研究在毕达哥拉斯时代以前很久就开始了．更令人惊讶的是，巴比伦人似乎使用他们的勾股数组表作为原始的三角形表。古埃及人也使用勾股数组。例如， 古人发现，对于一个绳子，对折两次：得到4等分（每段1/4长度），标记中点及四分之一点。叠加折叠：将绳子一端折叠至第一个四分之一点，形成3层，再对折两次，得到 4×3=12 段。 这样就可以把一条绳子12等分。
产生直角的粗略方法是将绳子12等份，系成一个圈再绷成一个 3－4－5三角的形状，如图2．2所示。这为标记地界或建造金字塔等提供了一种廉价的直角工具．
 ![图片](/uploads/2025-03/65a160.jpg)

通过上面分析可以看到，古人在只有一个绳子的情况下，可以做出直尺、圆和直角。

> **欧几里得在《几何原本》中明确规定了作图工具的限制，将直尺定义为“无刻度、无限长”，仅用于连接两点，而圆规用于画圆。这种抽象化定义使几何问题脱离具体测量，专注于逻辑推理**

## 尺规作图问题

平面上几何图形的作图问题是初等数学中非常吸引人的一部分内容．由于历史的原因，人们对作图问题的工具作了限定，即作图时只能使用无刻度的直尺和圆规．因此，平面上的作图问题也称为尺规作图问题．在数学发展史上，最著名的，为人们最广泛熟知的尺规作图问题是 3 个古典难题：**化圆为方**，**倍立方体**和**三等分角**．这些问题的彻底否定解决是 19 世纪的事情，而且它们的解决都涉及了数学群论里域的扩张理论．

在具体阐述这 3 个古典难题的解决方法之前，让我们简单看一下，如何用直尺和圆规作出＂$+- \times, \div$＂和平方根．

作 $a+b$ 图示（图 3．2）．
作 $a-b$ 图示（图 3．3）．

![图片](/uploads/2025-03/ee0c62.jpg)
 
 作 $a b$ 图示（图3．4）．作 $\frac{a}{b}$ 图示（图 3．5）
  ![图片](/uploads/2025-03/3b394b.jpg)
  
   
  
## 无理数的制作 $\sqrt{a}$
利用勾股定理和圆的特性，可以在坐标轴上做出无理数。
下图显示如何制作无理数：
（1）取$OA$长度为1，做$AB$垂直$oa$，连接$OB$
（2）以$o$为圆心，$OB$为半径，交$x$轴于点$C$
（3）根据勾股定理 $1^2+1^2=2$，$OC$的长度即为$\sqrt{2}$
 ![图片](/uploads/2024-04/4134c2.jpg){width=400px}

用同样的方法，因为$1^2+\sqrt{2}^2=3^2$，可以求的$\sqrt{3}$
同样的，可以做出 $ \sqrt{4},\sqrt{5}, \sqrt{6}...$等数。

为了清晰

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