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斐波那契数列
最后更新:
2023-10-12 21:24
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斐波那契数列
**引言** 故事得从西元1202年说起,话说有一位意大利青年,名叫斐波那契。在他的一部著作中提出了一个有趣的问题:假设一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔,再过一个月就能生下一对小兔,并且此后每个月都生一对小兔,一年内没有发生死亡,问:一对刚出生的兔子,一年内繁殖成多少对兔子? 解:我们可以推算: ①1 月 1 对 ②2 月 1 对 ③3 月 2 对 ④4 月 3 对 ⑤5 月 5 对 ⑥6 月 8 对 ⑦7 月 13 对 ... 如下图 ![图片](/uploads/2023-10/ac6a5d.svg){width=400px} 如果把上面数字写出来就是: $$ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…… $$ 我们发现,第一项和第二项是1,之后的每一项为之前两项的和。 ## 和黄金分割的关系 开普勒发现数列前、后两项之比 $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{5}{8}, \frac{8}{13}, \frac{13}{21}, \frac{21}{34}, \cdots$ ,也组成了一个数列,会趋近黄金分割: $$ \frac{f_{n+1}}{f_n} \approx a=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})=\varphi \approx 1.618 \ldots $$ 斐波那契数亦可以用连分数来表示: $$ \begin{aligned} & \frac{1}{1}=1 \quad \frac{2}{1}=1+\frac{1}{1} \quad \frac{3}{2}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}} \quad \frac{5}{3}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}} \quad \frac{8}{5}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}} \\ & F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]=\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}-\frac{(1-\varphi)^n}{\sqrt{5}} \end{aligned} $$ 而黄金分割数亦可以用无限连分数表示: $$ \varphi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ldots}}}} $$ 而黄金分割数也可以用无限多重根号表示: $$ \varphi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}} $$ ## 斐波那契图像 如果把斐波那契画在极坐标上,其图像如下 ![图片](/uploads/2023-10/118907.jpg){width=360px} ## 意义 科学家发现,一些植物的花瓣、垩片、果实的数目以及排列的方式上,都有一个神奇的规律,它们 都非常符合著名的斐波那契数列。例如向日葵 ![图片](/uploads/2023-10/91f918.jpg){width=300px}
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