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正弦定理
日期:
2023-10-12 20:50
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正弦定理
**正弦定理** 正弦定理是三角学中的一个定理。它指出:对于任意 $\triangle ABC$ 有 $$ \frac {a}{\sin \angle A} = \frac {b}{\sin \angle B} = \frac {c}{\sin \angle C} =2 $$ 如下图 ![](../uploads/2022-09/ed0896.svg){width=300px} ## 证明 先以特殊三角形直角三角形为例证明 在直接三角形里, $ \angle A=\frac{\pi}{2} $ $ \sin B=\frac{b}{a}=\frac{b}{2 R}$ ,即 $ \frac{b}{sinB}=2R$ $ \sin C=\frac{c}{a}=\frac{c}{2 R} $ ,即$ \frac{c}{sinC}=2R $ 而$ \frac{a}{\sin A}=\frac{2 R}{\sin \frac{\pi}{2}}=2 R$ 故: $ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R$ ![pic](../uploads/2022-10/47d617.jpg){width=280px} 同理,当ABC是锐减三角形或者钝角三角形时,也可以得到上述结论,参考下图 ![pic](../uploads/2022-10/22b06f.jpg){width=280px} 和 ![pic](../uploads/2022-10/80af63.jpg){width=280px} 推论:$a:b:c=sinA:sinB:sinC$ 即三角形三边比值等于该三角型三个角度的正弦比值。
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