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余弦定理
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2023-10-12 21:03
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余弦定理
余弦定理是指在三角形ABC里， $ c^2=a^2+b^2-2ab \cos C$ $b^2=c^2+a^2-2ca cos B$ $a^2=b^2+c^2-2bc cos A $ **记忆技巧**：可以类别勾股定理进行记忆，即：勾股定理是余弦定理中，$\angle C= 90 ^{\circ}$ 的特列。 {width=300px} ## 证明 如下图 {width=300px} 设 $\triangle A B C$ 中， $\overrightarrow{A B}=c, \overrightarrow{B C}=a, \overrightarrow{A C}=b$ 。过 $B$ 点作 $A C$ 的垂线，垂足为 $D$ ，如果 $D$ 在 $A C$ 内部，则 $B D$ 的长度为 $a \sin C ， D C$ 的长度为 $a \cos C ， A D$ 的长度为 $b-a \cos C$ 。 根据勾股定理: $$ \begin{aligned} & c^2=(a \sin C)^2+(b-a \cos C)^2 \\ & c^2=a^2 \sin ^2 C+b^2-2 a b \cos C+a^2 \cos ^2 C \\ & c^2=a^2\left(\sin ^2 C+\cos ^2 C\right)+b^2-2 a b \cos C \\ & c^2=a^2+b^2-2 a b \cos C \end{aligned} $$ 如果 $D$ 在 $A C$ 的延长线上，证明是类似的。同理可以得到其他的等式。
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