最后更新: 2025-09-02 19:37 查看: 668 次纠错评论(0) 课件开VIP

附录1：综合与实践

## 综合与实践
`例`某商店出售一种商品，经营者提出了以下三种调价方案：
（1）先提价 $10 \%$ ，再降价 $10 \%$ ；
（2）先降价 $10 \%$ ，再提价 $10 \%$ ；
（3）先提价 $25 \%$ ，再降价 $25 \%$ 。
根据以上方案，请你思考下面几个问题：
（1）执行这三种调价方案以后，调价后的价格与原来的价格是否相同？
（2）比较这三种调价方案，调价后的价格是否相同？如果不相同，哪一种比较低些？
（3）推广到一般情况，如果先提价 $a \%$ ，再降价 $a \%$ ，可以得到什么结论？

为了比较这三种调价方案，需要列出它们各自调价后价格的数学表达式．设这种商品原价为 $m$ 元：

按方案（1）调价后的价格为

$$
m(1+10 \%)(1-10 \%)=0.99 m(\text { 元 }) \text {; }
$$

按方案（2）调价后的价格为

$$
m(1-10 \%)(1+10 \%)=0.99 m(\text { 元 }) \text {; }
$$

按方案（3）调价后的价格为

$$
m(1+25 \%)(1-25 \%)=0.9375 m(\text { 元 })
$$

从以上三式可知，调价后的价格都与原来的价格不相同．方案（1）与方案 （2）调价后的价格相同，而方案（3）调价后的价格比方案（1）与方案（2）调价后的价格低．

> 上面结果通俗理解：股票涨1%再跌1%你亏钱， 股票跌1%再涨1% 你还亏钱。

`例`  某电脑公司有 $A , B , C$ 三种型号的电脑，其中 A 型每台 6000 元， B 型每台 4000 元，C 型每台 2500 元．学校计划从该公司购进两种不同型号的电脑共 36 台，恰好花费 100500 元，请你设计不同的购买方案供学校选择．

分析：由于要求在这三种电脑中选购两种，因此需要分类讨论，利用计划需购进电脑台数和购进电脑共用钱数这两个等量关系，列方程组来求解．

解：按要求有三种情况：
（1）当只购进 $A , B$ 型电脑时，设购进 A 型电脑 $x$ 台， B 型电脑 $y$ 台．根据题意，得
$$
\left\{\begin{array}{l}
6000 x+4000 y=100500 \\
x+y=36
\end{array}\right.
$$

解得

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=-21.75 \\
y=57.75
\end{array}\right.
$$

不合题意，舍去．
（2）当只购进 $A , C$ 型电脑时，设购进 A 型电脑 $x$ 台， C 型电脑 $z$ 台．根据题意，得

$$
\left\{\begin{array}{l}
6000 x+2500 z=100500 \\
x+z=36
\end{array}\right.
$$

解得

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=3 \\
z=33
\end{array}\right.
$$

（3）当只购进 $B , C$ 型电脑时，设购进 B 型电脑 $y$ 台， C 型电脑 $z$ 台．根据题意，得

$$
\left\{\begin{array}{l}
4000 y+2500 z=100500 \\
y+z=36
\end{array}\right.
$$

解得

$$
\left\{\begin{array}{l}
y=7 \\
z=29
\end{array}\right.
$$

所以，有两种方案可供学校选择，第一种方案是购进 A 型电脑 3 台和 C型电脑 33 台；第二种方案是购进 B 型电脑 7 台和 C 型电脑 29 台。

我们看到，对于上述实际问题需要先把它转化为代数式或方程的数学问题，再利用已学过的数学知识去解决。

`例` 小明去商店买灯泡．商店柜台里现有功率为 100 W 的白炽灯泡和 40 W 的节能灯泡，它们的单价分别为 2 元和 32 元。经了解这两种灯泡的照明效果和使用寿命都一样，但是节能灯泡省电．已知小明家所在地的电价为每度 0.5 元，请问：当这两种灯泡的使用寿命超过多少时间时，小明选择节能灯泡才合算？［用电量 $( kW \cdot h )=$ 功率 $( kW ) \times$ 时间 $( h ), 1$ 度 $=1 kW \cdot h$ ］

分析：选择最优方案，需要对两种灯泡的用电量进行比较，结合题意联想用不等式的知识求解．要注意题目所给数量的实际意义及其单位的换算．

解：设使用寿命超过 $x$ 小时，选择节能灯泡才合算．根据题意，得

$$
2+0.5 \times \frac{100}{1000} x>32+0.5 \times \frac{40}{1000} x
$$

解得

$$
x>1000 .
$$

答：这两种灯泡的使用寿命超过 1000 小时，选择节能灯泡才合算．

`例` 如图26－5所示，边长为 800 m 的正方形 $A B C D$ 是个货场，从 $A$处有一条平直铁路通过，与 $B C$ 边交于点 $E, C E=200 m$ ．点 $D$ 是货运汽车人口．现要在铁路线 $A E$ 上修一个卸货站，使得点 $D$ 到卸货站的距离最短，求这个最短距离是多少。

![图片](/uploads/2025-06/fc6956.jpg)
 
 
分析：在这个问题中，要求出点 $D$ 到铁路 $A E$ 的最短距离，首先要在图形中作出点 $D$ 到 $A E$ 的最短距离， 寻求计算的方法．

解：作 $D F \perp A E$ ，垂足为 $F$ ，连接 $D E$ ，如图 26－6．

$$
\begin{aligned}
\because \quad S_{\triangle A D E} & =S_{\text {正方形 } A B C D}-S_{\triangle A B E}-S_{\triangle D C E} \\
& =800^2-\frac{1}{2} \times 800 \times 600-\frac{1}{2} \times 800 \times 200 \\
& =320000 .
\end{aligned}
$$

在 Rt $\triangle A B E$ 中，$A E=\sqrt{800^2+600^2}=1000$ ，

$$
\therefore \quad D F=\frac{2 \times 320000}{1000}=640 .
$$

答：点 $D$ 到卸货站的最短距离是 640 m ．
 
`例` 为了避免浪费水的现象，某城市计划出台阶梯水价政策，以家庭为单位分月计算：基本用水量 $12 m^3$ 以下为第一级，水价为每立方米 3.7 元； $12 m^3$ 到 $16 m^3$ 为第二级，水价为第一级的 2 倍； $16 m^3$ 以上为第三级，将按第一级水价的 5 倍收费。
（1）按阶梯水价计算以下各家庭4月份应缴的水费，并填人下表： 
 ![图片](/uploads/2025-06/f04f2c.jpg)
 
（2）设一户家庭某月用水量为 $x m^3$ ，按阶梯水价，试写出该户此月应缴水费 $y$（元）与用水量 $x\left(m^3\right)$ 之间的函数关系式，并画出图象；
（3）如果 5 月份小平家缴了 92.5 元的水费，小刚家缴了 40.7 元的水费，问这两家 5 月份的用水量各是多少．

解：（1）略（请自己完成填表）。
（2）该户此月应缴水费 $y$（元）与用水量 $x\left(m^3\right)$ 之间的函数关系式是

$$
y=\left\{\begin{array}{l}
3.7 x,(0 \leqslant x \leqslant 12) \\
3.7 \times 12+3.7 \times 2 \times(x-12),(12<x \leqslant 16) \\
3.7 \times 12+3.7 \times 2 \times 4+3.7 \times 5 \times(x-16) .(x>16)
\end{array}\right.
$$

函数图象如图 26－7所示．
（3）设小平家 5 月份用水 $x_1 m^3$ ，因为缴水费 92.5 元，由图象可知，$x_1>16$ ．

所以 $92.5=3.7 \times 12+3.7 \times 2 \times 4+3.7 \times$ $5 \times\left(x_1-16\right)$ ．

解得 $x_1=17$ ．
设小刚家 5 月份用水 $x_2 m^3$ ，因为缴水费 40.7 元，由图象可知，$x_2<12$ ，

![图片](/uploads/2025-06/76293c.jpg)

所以 $40.7=3.7 \times x_2$ ．
解得 $x_2=11$ ．
答： 5 月份小平家的用水量是 $17 m^3$ ，小刚家的用水量是 $11 m^3$ ．

`例` 某市要在一块地上（图 26－12 中的矩形 $A B C D$ ）规划建造一个矩形街心花园 $G H C K$ ，为了使文物保护区 $\triangle A E F$ 不被破坏，矩形街心花园的顶点 $G$ 不能在文物保护区内．已知 $A B=200 m, A D=160 m, A E=60 m, A F=40 m$ ．求：
（1）当矩形街心花园的顶点 $G$ 恰是 $E F$ 的中点时，花园的面积；
（2）当点 $G$ 在 $E F$ 上的什么位置时，花园的面积最大．
  ![图片](/uploads/2025-06/6616cc.jpg)

分析：当点 $G$ 为 $E F$ 的中点时，求矩形 $G H C K$ 的面积，实际上已经转化成为一个数学问题．由三角形中位线的性质，易求 $M G, N G$ 的长，从而计算出花园的面积．对于第（2）问，由于随着点 $G$ 在 $E F$ 上的变动，矩形花园 $G H C K$ 的面积也在不断地变化，因此，要求何时花园的面积最大，就联想到要将其转化为函数问题．可以利用计算机或图形计算器探究，如图 26－13．

![图片](/uploads/2025-06/5b2ac1.jpg)
 
 
 解：如图 26－12，延长 $H G, K G$ 分别交 $A D, A B$ 于点 $M, N$ ．
（1）当点 $G$ 是 $E F$ 的中点时，由三角形中位线定理，得

$$
M G=\frac{1}{2} A E=30, \quad G N=\frac{1}{2} A F=20
$$

$$
\begin{aligned}
\therefore \quad S_{\text {矩形 GHCK }} & =H G \cdot K G \\
& =(200-30)(160-20) \\
& =23800\left(m^2\right) .
\end{aligned}
$$

（2）设 $M G=x$ ，则 $H G=200-x$ ．

$$
\because \quad M G / / A E,
$$

$$
\begin{aligned}
& \therefore \quad \triangle F M G \sim \triangle F A E . \\
& \therefore \quad \frac{F M}{F A}=\frac{M G}{A E} \text {. } \\
& F M=\frac{F A \cdot M G}{A E}=\frac{40 x}{60}=\frac{2}{3} x . \\
& M A=F A-F M \\
& =40-\frac{2}{3} x(0 \leqslant x \leqslant 60) . \\
& \therefore \quad S_{\text {矩形 } G H C K}=H G \cdot K G \\
& =(200-x)\left[160-\left(40-\frac{2}{3} x\right)\right] \\
& =-\frac{2}{3} x^2+\frac{40}{3} x+24000 \\
& =-\frac{2}{3}(x-10)^2+\frac{72200}{3} .
\end{aligned}
$$

$\therefore$ 当 $x=10(m)$ 时，$S_{\text {矩形 } G H C K}$ 最大．
此时 $\frac{F G}{F E}=\frac{M G}{A E}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$ ，即 $F G: G E=1: 5$ ．
答：当点 $G$ 恰是 $E F$ 的中点时，花园的面积为 $23800 m^2$ ；当点 $G$ 的位置在 $E F$ 上，且满足 $F G: G E=1: 5$ 时，花园的面积最大．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：第十二章 *多项式理论

下一篇：附录2：正十七边形的做法

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)