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Euler-Fermat 定理
最后更新:
2023-10-24 14:09
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Euler-Fermat 定理
Euler-Fermat 定理的研究源于 Fermat 提出的一个猜想: 若 $p$ 为素数, $(a, p)=1$ ,则 $a^{p-1} \equiv 1(\bmod p)$ 。这个猜想被 Euler 证明,称为 Fermat 小定理。Euler 还将其做了推广,就是著名的 Euler-Fermat 定理。 ## 内容。 设 $m \in \mathbb{N} ,(a, m)=1$ ,则 $a^{\varphi(m)} \equiv 1 \quad(\bmod m)$. 帮子亥子解决生活中的数学问题 ADVERTISEMENT ## 证明 略。 ## 应用 **求某个数的某位数** 这个定理可用来求解某个数的个位数(或其它位),对它模 $10^k$ ,即可求出 $k$ 位数,在化简的过程中,除了运用同余式的运算性质,还可以运用这个定理简化步骤。 引入原根 $\otimes$ 这个定理表明,在 $\mathbb{Z}_m^*$ 中,一定存在 $r$ ,使得 $\overline{a^r}=\overline{1}$ ,而 $\mathbb{Z}_m^*$ 具有循环群结构,故元素 $a$ 经过有限次自乘后又回到了本身,如果这个元素自乘能得到全部元素,那对研究这个群的结构是十分有用的,这就是我们后面要引入的原根概念。
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