最后更新: 2025-02-07 17:52 查看: 279 次反馈刷题

圆与圆的关系

## 圆与圆的关系
两个圆的位置关系细分成了 5 种, 即外离、外切、相交、内切、内含 (如下图所示), 根据两个圆的半径 $r_1, r_2$ 以及两个圆的圆心距 $d$ 来判断两个圆位置关系的方法:

![图片](/uploads/2023-11/image_202311046b7d81d.png)

## 解决对策
给定平面中的 $\odot C_1$ 与 $\odot C_2$, 以 $C_1$ 为原点, $C_1 C_2$ 所在直线为 $x$ 轴, 建立平面直角坐标系, 如图 所示. 此时, 设两圆的圆心距为 $d$, 则 $\odot C_2$ 的圆心坐标为 $(d, 0)$, 设两圆的方程分别为 $x^2$ $+y^2=r_1^2,(x-d)^2+y^2=r_2^2$, 将它们联立, 得方程组

![图片](/uploads/2023-11/image_20231104e53fded.png)

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=r_1^2, \\
(x-d)^2+y^2=r_2^2,
\end{array}\right.
$$

第一式减去第二式, 整理可得 $x=\frac{r_1^2-r_2^2+d^2}{2 d}$, 将 $x$ 的值代人 $x^2+y^2=r_1^2$,可得

$$
\begin{aligned}
y^2 & =r_1^2-\frac{\left(r_1^2-r_2^2+d^2\right)^2}{4 d^2} \\
& =\frac{\left(2 d r_1+r_1^2-r_2^2+d^2\right)\left(2 d r_1-r_1^2+r_2^2-d^2\right)}{4 d^2} \\
& =\frac{\left[\left(r_1+d\right)^2-r_2^2\right]\left[r_2^2-\left(r_1-d\right)^2\right]}{4 d^2} \\
& =\frac{\left(r_1+r_2+d\right)\left(r_1-r_2+d\right)\left(r_1+r_2-d\right)\left(r_2-r_1+d\right)}{4 d^2}
\end{aligned}
$$

$$
=\frac{\left[\left(r_1+r_2\right)^2-d^2\right]\left[d^2-\left(r_1-r_2\right)^2\right]}{4 d^2} .
$$

因此, 当且仅当

$$
\left|r_1-r_2\right|<d<r_1+r_2
$$

时, 有两个不同的实数 $y$ 满足方程组, 从而 $\odot C_1$ 与 $\odot C_2$ 相交.其他情况可类似得到.

`例`判断圆 $C_1: x^2+y^2-2 x-3=0$ 与圆 $C_2: x^2+y^2-4 x+2 y+3=0$ 的位置关系。

解 把圆 $C_1$ 的方程化成标准方程，得

$$
(x-1)^2+y^2=4
$$

圆 $C_1$ 的圆心是点 $(1,0)$ ，半径 $r_1=2$ ．
把圆 $C_2$ 的方程化成标准方程，得

圆 $C_2$ 的圆心是点 $(2,-1)$ ，半径 $r_2=\sqrt{2}$ ．
两圆心之间的距离 $d=\sqrt{(1-2)^2+(0-(-1))^2}=\sqrt{2}$ ，
从而

$$
r_1-r_2<\sqrt{2}<r_1+r_2
$$

所以圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 相交，它们有两个公共点 ．

![图片](/uploads/2025-02/cfc0ff.jpg)

`例`判断圆 $C_1: x^2+y^2=4$ 与圆 $C_2:(x-2)^2+(y-1)^2=1$ 的位置关系, 如果相交, 求出它们交点所在的直线的方程.

解 两圆的圆心距为

$$
\sqrt{(0-2)^2+(0-1)^2}=\sqrt{5},
$$

又因为 $2-1<\sqrt{5}<2+1$, 所以 $C_1$ 与 $C_2$ 相交.
解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=4, \\
(x-2)^2+(y-1)^2=1,
\end{array}\right.
$$

可得 $\left\{\begin{array}{l}x=2, \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{6}{5}, \\ y=\frac{8}{5} .\end{array}\right.$ 因此两圆的交点为 $(2,0),\left(\frac{6}{5}, \frac{8}{5}\right)$, 从而可以求得交点所在的直线方程为

$$
2 x+y-4=0 .
$$

例  中直线的方程也可按如下方法得到: 设 $C_1$ 与 $C_2$ 的交点为 $A, B$,则 $A, B$ 的坐标都满足方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=4, \\
(x-2)^2+(y-1)^2=1,
\end{array}\right.
$$

将方程组的第一式减去第二式, 整理可得

$$
2 x+y-4=0 .
$$

显然, $A, B$ 的坐标都满足上式, 又因为两点能确定一条直线, 所以上式就是所求直线的方程.

`例`已知圆 $C_1: x^2+y^2+x+2 y-3=0$ 与圆 $C_2: x^2+y^2-6=0$ 相交，求经过圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的两个交点的直线方程．

分析 两圆相交，它们的交点的坐标应同时满足两个圆方程。
解 将圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的方程联立，得方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2+x+2 y-3=0, ...(1) \\
x^2+y^2-6=0  ...(2)
\end{array}\right.
$$

（1）－（2），得

$$
x+2 y+3=0  ...(3)
$$

这是二元一次方程，它的图象是一条直线．

两圆的交点 $A, B$ 的坐标同时满足方程（1）和（2），因此也满足方程（3），也就是说，这两个交点都在直线 $x+2 y+3=0$ 上。

因此，$x+2 y+3=0$ 就是经过两圆交点 $A, B$ 的直线方程．

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