最后更新: 2025-05-31 09:54 查看: 357 次反馈同步训练

圆与圆的关系

## 圆与圆的关系
两个圆的位置关系细分成了 5 种, 即外离、外切、相交、内切、内含 (如下图所示), 根据两个圆的半径 $r_1, r_2$ 以及两个圆的圆心距 $d$ 来判断两个圆位置关系的方法:

![图片](/uploads/2023-11/image_202311046b7d81d.png)

## 解决对策
给定平面中的 $\odot C_1$ 与 $\odot C_2$, 以 $C_1$ 为原点, $C_1 C_2$ 所在直线为 $x$ 轴, 建立平面直角坐标系, 如图 所示. 此时, 设两圆的圆心距为 $d$, 则 $\odot C_2$ 的圆心坐标为 $(d, 0)$, 设两圆的方程分别为 $x^2$ $+y^2=r_1^2,(x-d)^2+y^2=r_2^2$, 将它们联立, 得方程组

![图片](/uploads/2023-11/image_20231104e53fded.png)

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=r_1^2, \\
(x-d)^2+y^2=r_2^2,
\end{array}\right.
$$

第一式减去第二式, 整理可得 $x=\frac{r_1^2-r_2^2+d^2}{2 d}$, 将 $x$ 的值代人 $x^2+y^2=r_1^2$,可得

$$
\begin{aligned}
y^2 & =r_1^2-\frac{\left(r_1^2-r_2^2+d^2\right)^2}{4 d^2} \\
& =\frac{\left(2 d r_1+r_1^2-r_2^2+d^2\right)\left(2 d r_1-r_1^2+r_2^2-d^2\right)}{4 d^2} \\
& =\frac{\left[\left(r_1+d\right)^2-r_2^2\right]\left[r_2^2-\left(r_1-d\right)^2\right]}{4 d^2} \\
& =\frac{\left(r_1+r_2+d\right)\left(r_1-r_2+d\right)\left(r_1+r_2-d\right)\left(r_2-r_1+d\right)}{4 d^2}
\end{aligned}
$$

$$
=\frac{\left[\left(r_1+r_2\right)^2-d^2\right]\left[d^2-\left(r_1-r_2\right)^2\right]}{4 d^2} .
$$

因此, 当且仅当

$$
\left|r_1-r_2\right|<d<r_1+r_2
$$

时, 有两个不同的实数 $y$ 满足方程组, 从而 $\odot C_1$ 与 $\odot C_2$ 相交.其他情况可类似得到.

`例`判断圆 $C_1: x^2+y^2-2 x-3=0$ 与圆 $C_2: x^2+y^2-4 x+2 y+3=0$ 的位置关系。

解 把圆 $C_1$ 的方程化成标准方程，得

$$
(x-1)^2+y^2=4
$$

圆 $C_1$ 的圆心是点 $(1,0)$ ，半径 $r_1=2$ ．
把圆 $C_2$ 的方程化成标准方程，得

圆 $C_2$ 的圆心是点 $(2,-1)$ ，半径 $r_2=\sqrt{2}$ ．
两圆心之间的距离 $d=\sqrt{(1-2)^2+(0-(-1))^2}=\sqrt{2}$ ，
从而

$$
r_1-r_2<\sqrt{2}<r_1+r_2
$$

所以圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 相交，它们有两个公共点 ．

![图片](/uploads/2025-02/cfc0ff.jpg)

`例`判断圆 $C_1: x^2+y^2=4$ 与圆 $C_2:(x-2)^2+(y-1)^2=1$ 的位置关

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