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高中数学
第十章：解析几何与圆锥曲线
直线与圆的弦长
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2025-05-31 09:49
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直线与圆的弦长
## 直线与圆的弦长 ### 方法一：几何法 当直线与圆相交时，直线与圆相交所得弦长可以通过如下公式计算： 弦长公式: $$ \boxed{A B=2 \sqrt{r^2-d^2}} $$ 其中， $r$ 是圆的半径， $d$ 是圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离，上式利用勾股定理很容易得出。 {width=200px} ### 方法二：代数法 设直线 $y=k x+m$ 与圆 $x^2+y^2+D x+E y+F=0$ 相交于点 $M, N$ ，代 入，消去 $y$ ，得关于 $x$ 的一元二次方程，则 $$ \boxed{ |M N|=\sqrt{1+k^2} \cdot \sqrt{\left(x_M+x_N\right)^2-4 x_{M X_N}} } $$ `例`直线 $x+\sqrt{3} y-2=0$ 与圆 $x^2+y^2=4$ 相交于 $A, B$ 两点，则 $A B$ 的长度为 $\qquad$。 解：圆心 $(0,0)$ 到直线的距离为 $d=\frac{|0+\sqrt{3} \times 0-2|}{\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}}=1$ 于是根据公式，$A B=2 \sqrt{2^2-1^2}=2 \sqrt{3}$ `例` 过点 $(-1,-2)$ 的直线 $l$ 被圆 $x^2+y^2-2 x-2 y+1=0$ 截得的弦长为 $\sqrt{2}$ ，那么直线 $l$ 的斜率 ${ }^{+}$为 $\qquad$。 解：圆的方程化为 $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ 然后设直线方程为 $y+2=k(x+1)$ 即 $k x-y+k-2=0$ 圆心到直线的距离为 $d=\frac{|2 k-3|}{\sqrt{k^2+1}}$ 于是弦长 $h=
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