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高中数学
第十章：解析几何与圆锥曲线
圆的第二定义-阿波罗尼斯圆
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2025-05-31 10:42
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圆的第二定义-阿波罗尼斯圆
## 圆的第二定义-阿波罗尼斯圆 > 在正规的圆锥曲线讨论里，通常是不含圆的，但是我们总希望用第二定义把圆锥曲线给连接起来，因此给出了阿波罗尼斯圆，以下内容仅供了解即可。 ### 定义 设平面上有两点$A$、$B$，动点$P$满足$\frac{PA}{PB}=\lambda$（$\lambda> 0$且$\lambda\neq1$），则点$P$的轨迹是一个圆，这个圆也叫做阿波罗尼斯圆。 {width=300px} **证明：** 设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$P(x,y)$。根据两点间距离公式，$PA=\sqrt{(x - x_1)^2+(y - y_1)^2}$，$PB=\sqrt{(x - x_2)^2+(y - y_2)^2}$。 因为$\frac{PA}{PB}=\lambda$，所以$PA^{2}=\lambda^{2}PB^{2}$。 即$(x - x_1)^2+(y - y_1)^2=\lambda^{2}[(x - x_2)^2+(y - y_2)^2]$。 展开并整理这个等式： $x^{2}-2x_1x + x_1^{2}+y^{2}-2y_1y + y_1^{2}=\lambda^{2}(x^{2}-2x_2x+x_2^{2}+y^{2}-2y_2y + y_2^{2})$。 $(1-\lambda^{2})x^{2}+2(x_2\lambda^{2}-x_
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