最后更新: 2025-04-12 17:00 查看: 543 次反馈刷题

圆的第二定义-阿波罗尼斯圆

## 圆的第二定义-阿波罗尼斯圆

> 在正规的圆锥曲线讨论里，通常是不含圆的，但是我们总希望用第二定义把圆锥曲线给连接起来，因此给出了阿波罗尼斯圆，以下内容仅供了解即可。

阿波罗尼斯圆是平面几何中的一个概念。

**一、定义**
1. **基本定义**
   • 设平面上有两点$A$、$B$，动点$P$满足$\frac{PA}{PB}=\lambda$（$\lambda> 0$且$\lambda\neq1$），则点$P$的轨迹是一个圆，这个圆就叫做阿波罗尼斯圆。
   • 例如，当$\lambda = 2$时，点$P$到点$A$的距离是到点$B$距离的2倍，点$P$的运动轨迹是一个圆。

**二、证明方法**
1. **坐标法（以平面直角坐标系为例）**
   • 设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$P(x,y)$。
   • 根据两点间距离公式，$PA=\sqrt{(x - x_1)^2+(y - y_1)^2}$，$PB=\sqrt{(x - x_2)^2+(y - y_2)^2}$。
   • 因为$\frac{PA}{PB}=\lambda$，所以$PA^{2}=\lambda^{2}PB^{2}$。
   • 即$(x - x_1)^2+(y - y_1)^2=\lambda^{2}[(x - x_2)^2+(y - y_2)^2]$。
   • 展开并整理这个等式：
      $x^{2}-2x_1x + x_1^{2}+y^{2}-2y_1y + y_1^{2}=\lambda^{2}(x^{2}-2x_2x+x_2^{2}+y^{2}-2y_2y + y_2^{2})$。
      $(1-\lambda^{2})x^{2}+2(x_2\lambda^{2}-x_1)x+(1 - \lambda^{2})y^{2}+2(y_2\lambda^{2}-y_1)y+x_1^{2}+y_1^{2}-\lambda^{2}(x_2^{2}+y_2^{2}) = 0$。
   • 当$\lambda\neq1$时，这是一个圆的方程。

**三、性质**
1. **圆心和半径**
   • 设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，对于$\frac{PA}{PB}=\lambda$所确定的阿波罗尼斯圆，其圆心$O$的坐标为$O(\frac{x_1-\lambda^{2}x_2}{1-\lambda^{2}},\frac{y_1-\lambda^{2}y_2}{1-\lambda^{2}})$。
   • 半径$r=\frac{\lambda|AB|}{|\lambda^{2}-1|}$，其中$|AB|=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$。
2. **与线段的关系**
   • 阿波罗尼斯圆与线段$AB$有密切关系。当$P$在直线$AB$上时，若$\frac{PA}{PB}=\lambda$，则$P$分线段$AB$的外分点或内分点（当$\lambda>1$为外分点，当$0<\lambda<1$为内分点），且阿波罗尼斯圆与直线$AB$相交于这两个分点。
 
## 阿波罗尼斯圆说明
阿波罗尼斯圆的定义：平面内，若动点 $x$ 到两定点 $T_0, ~ T_1$ 的距离之比为 $\lambda(\lambda>0, ~ \lambda \neq 1)$ ，则动点 $P$ 的轨迹是圆，称之为**阿波罗尼斯圆**，以下简称阿圆（特别的，当 $\lambda=1$ 时，动点 $P$ 的轨迹是线段 $A B$ 的中垂线）．

![图片](/uploads/2025-02/1b5b89.svg){width=300px}

阿波罗尼奥斯圆是两个相关的圆族。第一个圆族的每一个蓝色圆与第二个圆族的每一个红色圆相互正交。

![图片](/uploads/2025-02/e1e0b2.svg){width=300px}
 
 阿波罗尼奥斯圆是线段定义的，标记此线段为$\overline {CD}$

### 第一族（蓝色圆） 
第一族中的每一个都由一个正实数 $r$ 确定，这些圆定义为满足下列条件的点 $X$ 的轨迹：

$$
\left\{X \left\lvert\, \frac{d(X, C)}{d(X, D)}=r\right.\right\}
$$

即 $X$ 到 $C$ 的距离与 $X$ 到 $D$ 的距离之比值为 $r$ 。
当 $r$ 很接近零时，相应的圆会靠近 $C$ 的一侧，而对接近 $\infty$ 的 $r$ ，相应的圆则靠近 $D$ 的一侧。至于当 $r=1$ 时，该圆会退化为线段 $C D$ 之中垂线。

### 第二族（红色圆） 
第二族中的每个圆都由角 $\theta$ 确定，这些圆定义为满足下列条件的点 $X$ 的轨迹：

$$
\{X \mid \measuredangle C X D=\theta\}
$$

其中 $\measuredangle C X D$ 表示 $C X D$ 的有向角。
当 $\theta$ 取遍 0 到 $\pi$ 之所有值时，上式生成所有经过 $C$ 和 $D$ 的圆。

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