最后更新: 2025-04-12 17:02 查看: 3380 次反馈刷题

椭圆的定义与标准方程

## 椭圆的定义

平面内与两个定点$F_1,F_2$ 的距离之和等于常数（记做 $2a$, 且大于$|F_1F_2|$）的点的轨迹叫做椭圆。这2个顶点叫做椭圆的**焦点**，两个焦点之间的距离叫做**焦距**。

下图给出了椭圆简单的做法：取一条绳索，绳索两段固定在$F_1$ 和$F_2$ ,用铅笔拉直绳索进行旋转，则笔芯的轨迹就是椭圆,其英文称作Ellipse。

![](/uploads/2022-10/249497.svg){width=250px}

在定义中，

①  $2a > |F_1F_2| $ 轨迹是椭圆
② $2a = |F_1F_2| $ 轨迹是$F_1F_2$线段
③ $2a < |F_1F_2| $ 轨迹不存在。

### 椭圆是圆锥曲线的一种

用平面去截圆锥面，可以得到圆、椭圆、抛物线和双曲线。因为这些图形都是从截取圆锥体得到的，古希腊几何学家将这类曲线统称为圆锥曲线"
参考下图，通过切割圆锥体，可以得到这四种图形。
![](/uploads/2022-10/345_202210030932.png)

## 椭圆标准方程

在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：设椭圆上一点 $M$  到两个焦点的距离为$2a$

(1) 焦点在 $x$ 轴时，标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ ，焦点坐标分别是 $F_1(-c, 0)$ 和 $F_2(c, 0)$ ，且 $a^2=b^2+c^2$
![](../uploads/2022-10/93156d.svg)

(2) 焦点在 $y$ 轴时，标准方程为 $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$

![图片](/uploads/2025-02/e93ecf.jpg)

> 下面我们根据椭圆的定义来建立椭圆的方程．在考试里，经常会出现考生要自建坐标系的题目，初学者可以细研究本题的思路。

设$F_1$、$F_2$是椭圆的两个焦点，取射线$F_1F_2$作为$X$轴的正半轴，$\overline{F_1F_2}$的垂直平分线作为$Y$轴（图6.1）．设焦距$\overline{F_1F_2}=2c\; (c>0)$，则 $F_1(-c,0),\qquad F_2(c,0) $
 ![图片](/uploads/2024-05/a51d6a.jpg)
 
  
设$P(x,y)$是椭圆上的任一点，它到$F_1$、$F_2$的距离之和等于常数
$2a\; (a>0)$, 则 $\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a $
由求两点的距离公式得
 $\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a $
去根号，整理得
$$
  (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2) ...(6.1)
$$
因$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}>\overline{F_1F_2}$, 所以$a>c,\; a^2-c^2>0$, 
设$a^2-c^2=b^2\; (b>0)$, 代入(6.1)式得
 $b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 $
两边同除$a^2b^2$得
$$ 
\boxed{
 {\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1}   ...(6.2)
 }
$$

这就是**椭圆的标准方程**．

## 根据方程推断椭圆性质

> **重要说明** 下面将根据椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$来推断椭圆的性质。利用所学过的函数的**奇偶性、对称性、单调性和导数的意义**的概念，即使我们从未接触过椭圆，但是根据他的函数特点，就应该能推断他的性质，这是新高考压轴题常见考点。

### 椭圆的对称性
首先，由于椭圆方程$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$中只含有$x,y$的平方，故把一个坐标变号，对于方程没有影响，这就表明：如果$M(x,y)$在椭圆上，那么，$M_1(x,-y)$, $M_2(-x,-y)$, $M_3(-x,y)$各点也都在椭圆上，所以**椭圆既是以$x$轴或$y$轴为对称轴的轴对称图形**，**又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，对称中心又叫做椭圆的中心**．

### 椭圆的范围
其次，由方程$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 得
 $\frac{x^2}{a^2}\le 1,\qquad \frac{y^2}{b^2}\le 1 $ 
 即
 $-a\le x\le a,\qquad -b\le y\le b $
这两个不等式表明椭圆全部包含在如图6.2所示的长方形内．
![图片](/uploads/2024-05/6603d1.jpg)

### 椭圆的形态
最后，我们来讨论椭圆在第I象限内的性态．由$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$得
$y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2} $
在第I象限，椭圆方程可写为
 $y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2},\qquad 0\le x\le a $

当$x=0$时，$y=b$, 当$x$递增时，$y$递减，
当$x=a$时，$y=0$, 因此椭圆在第I象限内的轨迹大致是$B_2A_2$这部分曲线，再由对称性可画出整个椭圆的图象（图6.2）．
 
 
### 椭圆的长半轴与短半轴

当$y=0$, $x=\pm a$, 点$A_1(-a,0)$, $A_2(+a,0)$ 是$x$轴上距$y$轴最远的两个点.
当$x=0$, $y=\pm b$, 点$B_1(0,-b)$, $B_2(0,+b)$是$Y$轴上距$X$轴距离最远的两个点.

这四点，$A_1$、$A_2$、$B_1$、$B_2$叫做**椭圆的顶点**．

$\overline{A_1A_2},\overline{B_1B_2}$分别叫做椭圆的**长轴**和**轴短**．令 $\overline{A_1A_2}=2a$, $\overline{B_1B_2}=2b$, $a$和$b$分别叫做椭圆的**长半轴**长和**短半轴**长．
长轴和短轴的交点叫做**椭圆的中心**．

> 长半轴和短半轴就像孙悟空带的紧箍咒，牢牢限制了椭圆的范围。

### 圆是特殊的椭圆
如果$a=b$, 那么椭圆方程就化为
 $x^2+y^2=a^2 $
这时椭圆成为圆，$c=\sqrt{a^2-b^2}=0$, 即椭圆的两个焦点重
合于圆心，因此可以说**圆是椭圆的特殊情形**．

### 椭圆的离心率
由以上讨论可以看出，椭圆的形状依赖于$a$和$b$, 参考下图
$a,b,c$组成了一个直角三角形。
a:椭圆半长轴长
b:椭圆半短轴长
c:椭圆的焦点长
![](../uploads/2022-10/93156d.svg)

根据勾股定理，$c=\sqrt{a^2-b^2}$可表示出椭圆离开圆的偏差．由$c^2=a^2-b^2$
可得
 $\frac{c}{a}=\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2},\qquad \frac{b}{a}=\sqrt{1-\left(\frac{c}{a}\right)^2} $
比值
 $$
 \boxed{
 e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} 
 }
 $$
 
叫做**椭圆的离心率**，用它可同样来表出椭圆的形状．由$c<a$, 可知$e<1$, 当离心率愈来愈大时，也就是愈来愈接近1时，$1-e^2$就越小，椭圆的形状就愈扁平；反之，就愈接近于圆，当$e=0$时，$a=b$椭圆就成为圆了．

> 看到“率”就要想到“比值”，比如速率是路程比时间，斜率是y比x，因此离心率，至少表示两个意思，一是他是一个比值，是c比a；二、离心顾名思义就是离开中心的意思，这里的“心”就是坐标中心，所以，离心率越大，表示他离开椭圆中心就越远，自然椭圆就越扁。

> 上面解释主要是方便理解，离心率通常认为和“离心力”对应的，根据牛顿的万有引力，当天地运动时，会受到向心力的作用，这个力被称作离心力(离开中心的力)，而离心率就是一个比值。

### 椭圆焦点在Y轴上
如果椭圆的中心在原点，焦点在$Y$轴上，那么长轴也定在$Y$轴上，这时两个焦点$F_1,F_2$的坐标分别是$(0,-c)$,$(0,c)$ (图6.3), 求得圆的标准方程是
 $$
    {\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1}\qquad a\ge b>0
 $$
把方程(6.2)的变量$x$和$y$互换就可得到方程(6.6).
 ![图片](/uploads/2024-05/c438fb.jpg)
 
 ## 例题
`例`已知椭圆的长轴长是10, 焦距是8, 求椭圆的标准方程．

解：由已知条件得$2a=10,\quad 2c=8$，所以：
 $a=5,\qquad c=4,\qquad b^2=a^2-c^2=5^2-4^2=9 $
因此所求椭圆的标准方程为
 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1 $
 
`例`求椭圆$4x^2+9y^2=36$的长轴、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标．
解：已知方程可化为
     $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1 $
     
这是长轴在$X$轴上，中心在坐标原点的椭圆标准方程．

因此$a=3$, $b=2$, $c=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$, 顶点$A'(-3,0)$, $A(3,0)$, $B'(0,-2)$, $B(0,2)$. 焦点$F_1(-\sqrt{5},0)$, $F_2(\sqrt{5},0)$.

离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$．如下图
 
 ![图片](/uploads/2024-05/5c162b.jpg)
 
`例`我国第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，卫星的近地点与地球表面距离为439公里；远地点与地球表面距离为2384公里，已知地球半径约为6371公里，试求卫星轨道的近似方程及其离心率．
 解： 设地球中心$F_2$在$X$轴上（图6.5），
 ![图片](/uploads/2024-05/d86bec.jpg)
 
 所求方程为
 $$
 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
 $$
依题意
 $$
 \begin{split}
    \overline{A_1F_2}&=a+c=6371+2284=8755\\
    \overline{A_2F_2}&=a-c=6371+439=6810
\end{split}
$$
由以上两式联立
求解得
 $a=7782.5,\qquad c=972.5,\qquad b=\sqrt{a^2-c^2}=7721.5 $
所以，所求卫星轨道的近似方程为
 $$
 \frac{x^2}{(7782.5)^2}+\frac{y^2}{(7721.5)^2}=1 
 $$
其离心率

$e=\frac{c}{a}\approx 0.125$

## 高考试题
上面介绍了椭圆的性质，并给出了例题，似乎题目很简单，这里给出一个难一点的。

`例` 椭圆具有奇妙的光学性质：从一个焦点设出的光线，经过椭圆上的一次反射后，反射光线一定经过另一个焦点。
即：对于椭圆上任一点，它与两焦点的连线和过该点的楠圆切线所夹的角相同．双曲线，抛物线均有类似的光学性质。

一列椭圆 $\left\{\Gamma_n\right\}\left(n \in N ^*\right)$ 满足 $\Gamma_n: \frac{x^2}{a_n^2}+\frac{\left(y-t_n\right)^2}{b_n^2}=1$ 的离心率为定值，其两个焦点均在 $y$轴上， $0<t_1<t_2<\cdots, \Gamma_n$ 与 $\Gamma_{n+1}$ 均外切，且 $\Gamma_n$ 与抛物线 $E: y=x^2$ 相切，$T_n$ 为一个切点．已知 $\Gamma_1$ 的焦距为 $2, \Gamma_2$ 的焦距为 $2(\sqrt{2}+1)$ ．
（1）求 $\Gamma_n$ 的方程；
（2）记 $E$ 的焦点为 $F, \Gamma_n$ 的焦点为 $F_{n 1}$ 和 $F_{n 2}$ ．证明：$\left|F T_n\right|^2=\left|F F_{n 1}\right| \cdot\left|F F_{n 2}\right|$ ；
（3）用足够多与 $\Gamma_{2022}$ 全等的椭圆片均匀地密铺平面（所有椭圆片的长轴平行或共线，且每个椭圆均与相邻的 6 个椭圆外切）．求平面的覆盖率．

**答案**（1）解：因离心率为定值，故可设 $b_n=k a_n(k>0)$ ．
将 $\frac{x^2}{a_n^2}+\frac{\left(y-t_n\right)^2}{b_n^2}=1$ 与 $y=x^2$ 联立得 $y^2+\left(k^2-2 t_n\right) y+t_n^2-b_n^2=0$ ．
由 $\Delta=0$ 解得 $t_n=\frac{k^4+4 b_n^2}{4 k^2}$ ．
因 $\Gamma_n$ 与 $\Gamma_{n+1}$ 外切，故 $t_n+b_n=t_{n+1}-b_{n+1}$ ，化简得 $\left(b_{n+1}+b_n\right)\left(b_{n+1}-b_n+k^2\right)=0$ ．
显然有 $b_n>0$ ，于是 $b_{n+1}-b_n=k^2$ ，特别地，$b_2=b_1+k^2$ ．
记 $c_n=\sqrt{b_n^2-a_n^2}=b_n \sqrt{1-\frac{1}{k^2}}$ ，有 $c_1=1, c_2=\sqrt{2}+1$ ，即
$b_1 \sqrt{1-\frac{1}{k^2}}=1,\left(b_1+k^2\right) \sqrt{1-\frac{1}{k^2}}=\sqrt{2}+1$ ，解得 $k=b_1=\sqrt{2}$ ．
从而 $b_{n+1}-b_n=2, b_n=\sqrt{2}+2(n-1), a_n=\frac{b_n}{k}=1+\sqrt{2}(n-1), t_n=\frac{1+b_n^2}{2}$ ．
因此 $\Gamma_n$ 的方程为 $2 x^2+\left(y-\frac{1+b_n^2}{2}\right)^2=b_n^2$ ，其中 $b_n=\sqrt{2}+2(n-1)$ ．

（2）证：过 $T_n$ 作 $y$ 轴的平行线 $T_n V$ 和 $E$ 的法线 $T_n U$ ．由椭圆的光学性质，得 $\angle F_{n 1} T_n U=\angle F_{n 2} T_n U$ ．将椭圆的一个焦点移到无穷远处，即得抛物线的光学性质：$\angle F T_n U=\angle V T_n U$ ．

将所得的两式相减，得

$$
\angle F_{n 1} T_n F=\angle F_{n 2} T_n V=\angle T_n F_{n 2} F
$$

从而 $\triangle F T_n F_{n 1} \backsim \triangle F F_{n 2} T_n$ ，
因此 $\left|F T_n\right|^2=\left|F F_{n 1}\right| \cdot\left|F F_{n 2}\right|$ ．
（3）解：如图，不妨设该椭圆的长轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，短轴长为 2 ．
 ![图片](/uploads/2025-02/1e985f.jpg)

将点 $A$ 置于坐标原点，设中心分别为 $A$ 和 $B$ 的椭圆相切与点 $E$ ，则 $E$ 为线段 $A B$ 的中点．
因为以 $B$ 为中心的椭圆与 $y$ 轴相切，故点 $B$ 和点 $E$ 的横坐标 $x_B=\sqrt{2}, x_E=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．又 $E$ 在椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 上，故 $E\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), B(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ．故 $\triangle A B C$ 的面积 $S_0=\sqrt{6}$ ．

阴影部分恰可以拼成上半个椭圆，其面积 $S=\frac{\pi \cdot \sqrt{2} \cdot 1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \pi$ ．
由于 $\triangle A B C$ 可以不重叠无缝隙地密铺整个平面，故平面的覆盖率为

$$
\frac{S}{S_0}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \pi}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{6} \pi .
$$

![图片](/uploads/2025-02/00b7ab.jpg)

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