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第十一章：解析几何(圆锥曲线)
椭圆
椭圆的定义与标准方程
最后更新:
2024-09-18 16:59
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椭圆的定义与标准方程
## 椭圆的定义 平面内与两个定点$F_1,F_2$ 的距离之和等于常数（记做 $2a$, 且大于$|F_1F_2|$）的点的轨迹叫做椭圆。这2个顶点叫做椭圆的**焦点**，两个焦点之间的距离叫做**焦距**。 下图给出了椭圆简单的做法：取一条绳索，绳索两段固定在$F_1$ 和$F_2$ ,用铅笔拉直绳索进行旋转，则笔芯的轨迹就是椭圆,其英文称作Ellipse。 {width=250px} 在定义中， ① $2a > |F_1F_2| $ 轨迹是椭圆 ② $2a = |F_1F_2| $ 轨迹是$F_1F_2$线段 ③ $2a < |F_1F_2| $ 轨迹不存在。 ## 椭圆是圆锥曲线的一种 圆，椭圆，抛物线和双曲线都被称为圆锥曲线，参考下图，通过切割圆锥体，可以得到这四种图形。  ## 椭圆标准方程 在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：设椭圆上一点 $M$ 到两个焦点的距离为$2a$ (1) 焦点在 $x$ 轴时，标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ ，焦点坐标分别是 $F_1(-c, 0)$ 和 $F_2(c, 0)$ ，且 $a^2=b^2+c^2$  (2) 焦点在 $y$ 轴时，标准方程为 $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$  下面，我们根据椭圆的定义来建立椭圆的方程． 设$F_1$、$F_2$是椭圆的两个焦点，取射线$F_1F_2$作为$X$轴的正半轴，$\overline{F_1F_2}$的垂直平分线作为$Y$轴（图6.1）．设焦距$\overline{F_1F_2}=2c\; (c>0)$，则 $F_1(-c,0),\qquad F_2(c,0) $  设$P(x,y)$是椭圆上的任一点，它到$F_1$、$F_2$的距离之和等于常数 $2a\; (a>0)$, 则 $\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a $ 由求两点的距离公式得 $\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a $ 去根号，整理得 $$ (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2) $$ 因$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}>\overline{F_1F_2}$, 所以$a>c,\; a^2-c^2>0$, 设$a^2-c^2=b^2\; (b>0)$, 代入(6.1)式得 $b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 $ 两边同除$a^2b^2$得 $$ {\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1} ...(6.2) $$ 这就是说，椭圆上任一点的坐标都满足方程(6.2); 反过来， 设$P(x_1,y_1)$的坐标满足方程(6.2), 则 $\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1 $ $y^2_1=b^2\left(1-\frac{x^2_1}{a^2}\right)=(a^2-c^2)\left(1-\frac{x^2_1}{a^2}\right) $ 于是 $$ \begin{split} \overline{PF_1}&=\sqrt{(x_1+c)^2+y^2_1}\\ &=\sqrt{(x_1+c)^2+(a^2-c^2)\left(1-\frac{x^2_1}{a^2}\right)}\\ &=\sqrt{a^2+2cx_1+\frac{c^2}{a^2}x^2_1}\\ &=\left|a+\frac{c}{a}x_1\right| \end{split} $$ 由$\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1$，可推知 $\frac{x_1^2}{a^2}\le 1$，$|x_1|\le a$． 又因$c<a$，所以$\frac{c}{a}<1$，$\left|\frac{c}{a}x_1\right|<a$ ，$a+\frac{c}{a}x_1>0$，因此： $$ \overline{PF_1}=a+\frac{c}{a}x_1 $$ 同理可证， $\overline{PF_2}=a-\frac{c}{a}x_1 $ 所以：$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a$ 这就是说，坐标满足方程(6.2)的点$P$也一定在椭圆上，由以 上证明，所以方程(6.2)是所求的椭圆方程，并把方程(6.2) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 叫做**椭圆的标准方程**． ## 根据方程推断椭圆性质 下面，用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何形状． 首先，由于方程(6.2)中只含有$x,y$的平方，故把一个坐标变号，对于方程没有影响，这就表明：如果$M(x,y)$在椭圆上，那么，$M_1(x,-y)$, $M_2(-x,-y)$, $M_3(-x,y)$各点也都在椭圆上，所以椭圆既是以$X$轴或$Y$轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，对称中心又叫做椭圆的中心． 其次，由方程(6.2)得 $\frac{x^2}{a^2}\le 1,\qquad \frac{y^2}{b^2}\le 1 $ $-a\le x\le a,\qquad -b\le y\le b $ 这两个不等式表明椭圆全部包含在如图6.2所示的长方形内． 最后，我们来讨论椭圆在第I象限内的性态．由(6.2)得 $y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2} $ 在第I象限，椭圆方程可写为 $y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2},\qquad 0\le x\le a $ 当$x=0$时，$y=b$, 当$x$递增时， $y$递减，当$x=a$时，$y=0$, 因此椭圆在第I象限内的轨迹大致是$B_2A_2$这部分曲线，由 对称性可画出整个椭圆的图象（图6.2）．  当$y=0$, $x=\pm a$, 点$A_1(-a,0)$, $A_2(+a,0)$ 是$X$轴上距$Y$轴最远的两个点，当$x=0$, $y=\pm b$, 点 $B_1(0,-b)$, $B_2(0,+b)$是$Y$轴上距$X$轴距离最远的 两个点，这四点，$A_1$、$A_2$、$B_1$、$B_2$叫做**椭圆的顶点**． $\overline{A_1A_2},\overline{B_1B_2}$分别叫做椭圆的长轴和轴短．$\overline{A_1A_2}=2a$, $\overline{B_1B_2}=2b$, $a$和$b$分别叫做椭圆的**长半轴**长和**短半轴**长． 长轴和短轴的交点叫做椭圆的中心． 如果$a=b$, 那么方程(6.2)化为 $x^2+y^2=a^2 $ 这时椭圆成为圆，$c=\sqrt{a^2-b^2}=0$, 即椭圆的两个焦点重 合于圆心，因此可以说**圆是椭圆的特殊情形**． 由以上讨论可以看出，椭圆的形状依赖于$a$和$b$, 数量 $c=\sqrt{a^2-b^2}$可表示出椭圆离开圆的偏差．由$c^2=a^2-b^2$ 可得 $\frac{c}{a}=\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2},\qquad \frac{b}{a}=\sqrt{1-\left(\frac{c}{a}\right)^2} $ 比值 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} $ 叫做**椭圆的离心率**，用它可同样来表出椭圆的形状．由$c<a$, 可知$e<1$, 当离心率愈来愈大时，也就是愈来愈接近1时，$1-e^2$就越小，椭圆的形状就愈扁平；反之，就愈接近于圆，当$e=0$时，$a=b$椭圆就成为圆了． 如果椭圆的中心在原点，焦点在$Y$轴上，那么长轴也定在$Y$轴上，这时两个焦点$F_1,F_2$的坐标分别是$(0,-c)$,$(0,c)$ (图6.3), 求得圆的标准方程是 $$ {\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1}\qquad a\ge b>0 $$ 把方程(6.2)的变量$x$和$y$互换就可得到方程(6.6).  `例`已知椭圆的长轴长是10, 焦距是8, 求椭圆的标准方程． 解：由已知条件得$2a=10,\quad 2c=8$，所以： $a=5,\qquad c=4,\qquad b^2=a^2-c^2=5^2-4^2=9 $ 因此所求椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 $ `例`求椭圆$4x^2+9y^2=36$的长轴、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形． 解：已知方程可化为 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1 $ 这是长轴在$X$轴上，中心在坐标原点的椭圆标准方程． 因此$a=3$, $b=2$, $c=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$, 顶点 $A'(-3,0)$, $A(3,0)$, $B'(0,-2)$, $B(0,2)$. 焦点 $F_1(-\sqrt{5},0)$, $F_2(\sqrt{5},0)$. 离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$． 在第I象限已知椭圆方程可写为 $y=\frac{2}{3}\sqrt{9-x^2},\qquad 0\le x\le 3 $ 算出一些满足所求椭圆方程的点的坐标$(x,y)$:  描点画出椭圆在第I象限的图象，然后根据椭圆的对称性就可画出整个椭圆的图象（图6.4）．  `例`我国第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，卫星的近地点与地球表面距离为439公里；远地点与地球表面距离为2384公里，已知地球半径约为6371公里，试求卫星轨道的近似方程及其离心率． 解： 设地球中心$F_2$在$X$轴上（图6.5），  所求方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $ 依题意 $$ \begin{split} \overline{A_1F_2}&=a+c=6371+2284=8755\\ \overline{A_2F_2}&=a-c=6371+439=6810 \end{split} $$ 由以上两式联立 求解得 $a=7782.5,\qquad c=972.5,\qquad b=\sqrt{a^2-c^2}=7721.5 $ 所以，所求卫星轨道的近似方程为 $\frac{x^2}{(7782.5)^2}+\frac{y^2}{(7721.5)^2}=1 $ 其离心率 $e=\frac{c}{a}\approx 0.125$
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